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唐山一中2019届高三冲刺卷（四）
数学理科试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
卷I（选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 不等式成立的充分不必要条件是( )
A. B. C.或 D. 或
2. 已知数列{an}中，，，，，，，，则数列{an}的前n项和Sn =（ ）
A． B． C. D．
3. 若函数为偶函数，则（ ）
A.-1 B. 1 C.-1或1 D. 0
4. 若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 已知点是所在平面内一点，且满足，若，则=（ ）
A. B.1 C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D. -
7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且
，（ ） A．4 B．5 C. D．7
8. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（ ）
A. n=n+1和6 B. n=n+2和6 C. n=n+1和8 D. n=n+2和8
9. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10.双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
11. 抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线E上的两个动点，且满足．过弦AB的中点M作抛物线E准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．2
12. 已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则
14. 设x，y满足约束条件，则的取值范围为 .
15.已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为 .
16. 如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，若，则满足条件的直线l有 条。
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17. （本小题满分12分）17.设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．
（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和．
18. （本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19. （本小题满分12分）如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点．
（Ⅰ）证明：AD平面DEF；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21. 设函数（为常数，是自然对数的底数）
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在极坐标系中，直线,曲线C上任意一点到极点O的距离等于它到直线l的距离.(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)若P，Q是曲线C上两点，且,求的最大值.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数x，t，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
唐山一中2019届高三冲刺卷（四）
数学理科答案
一.选择题
1-5ADCDC 6-10CBDDC 11-12AD
二．填空题
13. 528 14. [－1，6] 15. 16. 4
三．解答题
17. 解：【解析】（Ⅰ）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以
因为点在函数的图象上，所以，所以…………………………………………………………………………………………4
又，所以……………………..6
（Ⅱ）由，函数的图象在点处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为，从而，故…………8
从而，，
所以
故． …………………………………………………………………….12
18. 【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．…………………………………..2
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．………………………………………..6
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．……………………………………12
19. 【解析】
【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG
又PB//EF，得，而DE//GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。……………………………………………………………………………..5
（Ⅱ），为二面角P—AD—B的平面角，
在，
在，
，………………….12
法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为
又为等边三角形，
因此，，
从而平面PBG．
延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，
PO AD，
所以PO 平面ABCD．
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
设
由于
得
平面DEF．
（Ⅱ）
取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取
12分
20.【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为
因为，由抛物线的定义可知，
解得或（舍去）
由，解得．所以抛物线的方程为．…………………….3
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．
因为，则，
由得，故，故直线的斜率
因为直线和直线平行，
设直线的方程为，代入抛物线的方程得，
由题意，得
设，则
当时，，
可得直线的方程为，由，
整理得，直线恒过点
当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．…7
（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，
所以。
设直线的方程为，因为点在直线上
故．设，直线的方程为
由于，可得，代入抛物线的方程得
所以，可求得，
所以点到直线的距离为
==
则的面积，
当且仅当即时等号成立，
所以的面积的最小值为．……………………………………………………12
21.（Ⅰ）函数的定义域为
由可得
所以当时，，函数单调递减，
所以当时，，函数单调递增，
所以 的单调递减区间为，的单调递增区间为…………..4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，，因此．
当时，时，函数单调递增
故在内不存在两个极值点；………………………………………6
当时，
0
函数在内存在两个极值点
当且仅当，解得
综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为……..12
22. 答案及解析：
解:(Ⅰ)设点是曲线上任意一点，则,即
(II) 设,则.
23. （1）当时，……………………1分
因为，所以或者或者…………3分
解得：或者，
所以不等式的解集为.…………………………5分
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，等价于…………………………………6分
因为，当且仅当时等号成立，
所以………………………………………7分
因为时，
函数单增区间为，单间区减为，
所以当时，……………………………9分
所以，
所以实数的取值范围.…………………………………………………………………10分
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