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2016级高三五月文数冲刺卷（五）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，，则
A． B． C． D．
2．已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．为考察，两种药物预防某疾病的效果，进行实验，
得到等高条形 图，根据图中信息，下列说法最佳的一项是
A．药物的预防效果优于药物的预防效果
B．药物的预防效果优于药物的预防效果
C．药物、对该疾病均有显著的预防效果
D．药物、对该疾病均没有预防效果
4．已知定义域为的函数不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是
A． B．
C． D．
5．设变量，满足约束条件，则的最大值为
A．7 B．6 C．5 D．4
6．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
7.已知两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为
A．15 B．16 C．17 D．18
8．已知函数的图像向右平移个单位后，得到函数
的图像关于直线对称，若，则
A． B． C． D．
9．如图，已知正方体的边长为1，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 的运动过程中，点与平面的距离保持不变，则动点运动的轨迹围成的图形的面积为
A. B. C.1 D.
10．在中，，，是边上的高，若，则实数等于
A． B． C． D．
11．若椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为
A． B． C． D．
12．若函数存在正的零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：（共4小题，每小题5分，计20分）
13．已知平面向量与的夹角为，且，，则__________．
14．已知在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则= .
15．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为
__________．
16．将一半径为的木质球打磨加工成一圆锥体物件，若使圆锥体积最大，则圆锥底面半径与球的半径之比为 .
三、解答题：（共7小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
17．已知数列的前项和为，满足．
（1）证明：是等比数列； （2）求．
18. 已知直角,斜边,在上，且,, 交于,将沿折起，使与 重合，得到几何体（如图）
（1）求证：平面平面.
（2）求四棱锥的体积.
19．某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下统计表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数（万人）
13
9
8
10
12
原材料（袋）
32
23
18
24
28
（1）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？
（注：利润销售收入原材料费用）．
参考公式：，．
参考数据：，，．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．
（1）若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；
（2）若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2 (－2＜x＜2)上，求|AB|的最大值．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）探究：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为
，直线与曲线相交于不同的两点.
（1）若，求线段的中点的直角坐标；
（2）若直线的斜率为2，且过已知点，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
2016级高三五月文数冲刺卷（五）答案
1-12 CABDD CBCBA AD 13. 13.2 14. 15. 16.
17. 【解析】（1）由得：，···········1分
因为，
所以，···········3分
从而由得，···········5分
所以是以为首项，为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得，···········8分
所以．·12分
18. 【解析】（1）取的中点分别为
∥， =，∥， =，
，且
四边形为平行四边形 ………2分
又，
又
………4分
又 ………6分
（2） ………8分
………10分
又点到平面的距离为
………12分
19.【解析】（1）由所给数据可得：，
，·······2分
，，··5分
则关于的线性回归方程为．·······6分
（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋，
因为，
当时，利润；
当时，利润，
当时，利润．
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元．
·······12分
20. （1）证明：
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为, ，
由 得
，， ……2分
则 ……4分
由已知，得，满足
直线的方程为，直线过定点(0,1) ……6分
(2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k，
y0＝kx0＋m＝2k2＋m，
将M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得
2k2＋m＝4－×(2k)2， ∴m＝4－3k2. ……8分
∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜，
∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0， ∴－＜k＜，
故k的取值范围是(－，)． ……9分
∴|AB|＝·
＝
＝4· ≤4·＝6，
当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号， ∴|AB|的最大值为6.
21. 【解析】（1）依题意，，·········1分
令，解得，故，·········3分
故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；
故函数的单调减区间为，单调增区间为．·········5分
（2），其中，
由题意知在上恒成立，，
由（1）可知，∴
，······7分
∴，记，则，令，得．·······9分
当变化时，，的变化情况列表如下：
∴，故，当且仅当时取等号，
又，从而得到．·········12分
22. 【解析】（1）由曲线可得曲线C的普通方程为····2分
当时，直线的参数方程为
代入曲线C的普通方程得：，·········3分
设A、B对应的参数分别为，，则线段AB的中点对应的参数
故线段AB的中点的直角坐标为·········5分
（2）若直线的斜率为2，则直线的参数方程为·········7分
代入曲线C的普通方程并整理得：
故
23. 【解析】（1）当时，原不等式可化为．
①当时，原不等式可化为，解得，所以；
②当时，原不等式可化为，解得，所以；
③当时，原不等式可化为，解得，所以．
综上所述，当时，不等式的解集为．·····5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在恒成立，
所以，即，即，
所以．解得，
故所求实数的取值范围是．·····10分
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