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2016级高三五月理数冲刺卷（五）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，，则
2. 设其中为虚数单位，则
3. 设已知等比数列的前5项的积为243，则
4. 已知平面向量，满足，，且，则在方向上的投影是
5．高考临近，小张和小谭两人约定6月5日下午4:00至下午5:00之间在校门口乘公共汽车一起去看考场，在这段时间内有3班公共汽车，公共汽车准时到达时刻分为为下午4:20,4:40,5:00。如果他们约定，见车就乘，则他们两人乘同一公共汽车的概率为
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
7. 每逢毕业季，毕业生都喜欢与同学一起合影留念。小胡，小邱，小章，小冉，小杨五位同学来到学校中心广场站成一排准备照相。其中小杨不排两端，小胡，小章要相邻。则不同的站法有（ ）种
8.以下四个命题中正确命题的个数是
依次首尾相接的四条线段必共面；
、、是空间三条不同的直线，若⊥，∥，则⊥；
、是两个平面，是一条直线，如果∥，，那么∥；
若直线⊥，且直线∥平面，则或∥
9．《九章算术》中的邪田意为直角梯形，上下底为畔，高称为正广，非高腰边称为邪（如图）。已知在邪田中，以正广为长轴，中心为中点的椭圆与邪相切于，东畔，西畔，且直线与直线斜率之积为，则椭圆的标准方程为
10．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
11. 面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿、折起，使得线段、重合，得到一个四面体（其中点重合于点），则该四面体外接球的表面积为
12. 已知，，且，则下面结论正确的是
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为____.
14．设，，则___.（用数字作答）
15. 若实数，满足，则的取值范围是____.
16．在等腰中，顶角，腰，点、、分别为线段、、上的动点，则的周长的最小值为____.
三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
17．（本小题满分12分）已知等差数列中，，，数列满足
，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的通项公式.
18．（本小题满分12分）如图三棱柱中，为菱形，⊥平面，四边形 为平行四边形. ,⊥，.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为.
（Ⅰ）若在抛物线上，，求的最小值；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于、两点，且，若，求直线的方程以及直线的方程.
20．（本小题满分12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付。某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
（Ⅰ）根据散点图判断，在推广期内，(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次 关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（III）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2所示：
表2：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠。根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为，根据所得数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用。
参考数据：
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二
乘估计分别为.
21．（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求，求的最大值；
（Ⅱ）若在内存在唯一极值点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（ 为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）写出曲线、的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，已知，与、的公共点分别为、,，当,求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在,不等式成立，求实数的取值范围.
2016级高三五月理数冲刺卷（五）答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
A
B
D
C
B
A
A
C
D
13. 14.-122 15. 16.
17.（1）由已知，得：..........................2分解得：.........................4分所以：.................5分，...............6分
（2）令数列的前项和为.所以：
........12分
18.（1）证明：连接.
.......................3分
.......................................................................4分
（2）
................................................6分
.....................................8分
...............................10分
...............................12分
19.解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程模型. ........ .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ............2分
（2）因为，两边同时取常用对数，得：
............................................................................3分
.........................................4分
..................................................................................................5分
即活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470. .....................................7分
（3）
..........................10分
2
1.8
1.6
1.4
0.1
0.15
0.7
0.05
....................12分
20.（1）依题意，..........................1分
.......................................................................3分
（2）
................4分
.............5分
.......6分
...................8分
................................................9分
.......................................11分
......................................12分
21.
....................................................1分
......................................................................5分
.................................6分
............................8分
............................10分
.................................................................................12分
22. （1）因为，所以曲线C1可化为…(2分）
曲线C2化为普通方程为，即，
因为，所以曲线C2化为……………………。（5分）
（2） 设点A、B的极坐标分别为和
因为点A在曲线C1上，所以，则
同理，点B在曲线C2上，所以
由极坐标的几何意义有，
所以，即，则，
又，所以，则，所以……………10分
23. （1）不等式可化为或或
即或或，则不等式的解集为……5分
（2）不等式可化为，
而，当且仅当时等号成立
又，当且仅当、
则，则，所以m取值范围为[－4，2]………………10分
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