盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
参考公式：
锥体体积公式：，其中为底面积,为高.
圆锥侧面积公式：，其中为底面半径,为母线长.
样本数据的方差，其中.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知，，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
2．设复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 ▲ ．
3．设数据的方差为1，则数据的方差为 ▲ ．
开始
k←0
S←0
S＜20
k←k＋2
S←S＋2k
Y
N
输出S
结束
第6题图
4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），
现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球
的概率为 ▲ ．
5．“”是“”成立的 ▲
条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既
不充分又不必要”）．
6．运行如图所示的算法流程图，则输出S的值为 ▲ ．
7．若双曲线的两条渐近线与抛
物线交于三点，且直线经过抛物
线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．函数的定义域为 ▲ ．
9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．
10．已知函数为偶函数，且其
图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为 ▲ ．
第12题图
A
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
11．设数列的前项和为，若，
则数列的通项公式为 ▲ ．
12．如图，在中，已知，，
，点分别为边的7等
分点，则当时，的最大值
为 ▲ ．
13．定义：点到直线的有向距离为．已知点,，直线过点，若圆上存在一点，使得三点到直线的有向距离之和为0，则直线的斜率的取值范围为 ▲ ．
14．设的面积为2，若角所对的边分别为，则的最小值
为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
M
N
第15题图
在直四棱柱中，已知底面是菱形，分别是棱的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．
16．(本小题满分14分)
在中，角的对边分别为，为边上的中线．
（1）若，，，求边的长；
（2）若，求角的大小．
17．(本小题满分14分)
如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，，且半径平分．现拟在上选取一点，修建三条路,,供游人行走观赏，设．
（1）将三条路,,的长度之和表示为的函数，并写出此函数的定义域；
A
O
B
C
P
α
第17题图
（2）试确定的值，使得最小．
18．(本小题满分16分)
如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆．
①设圆与线段交于两点，若，且，求 的值；
O
P
F1
F2
y
x
第18题图
②设，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点（均异于点）．试问：是否存在这样的正数，使得两点恰好关于坐标原点对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分16分)
若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”．设函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数为“恒切函数”．
①求实数的取值范围；
②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：．
（参考数据：）
20．(本小题满分16分)
在数列中，已知，并满足:是等差数列（其中），且当为奇数时，公差为；当为偶数时，公差为．
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求证：数列是等比数列；
（3）当时，记满足的所有构成的一个单调递增数列为，试求数列的通项公式．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
A.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，已知半圆的半径为5，为半圆的直径，是延长线上一点，过点作半圆的切线，切点为，于点．若，求的长．
A
B
P
C
D
O
·
第21（A）图
B.（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵的另一个特征值和对应的一个特征向量．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．
D．(选修4-5：不等式选讲）
已知正数满足，求的最小值．
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望．
23．（本小题满分10分）
（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1． 2． 3．4 4． 5．充分不必要 6．21 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共90小题.
15．（1）证明：连接，在四棱柱中，因为，，
所以，所以为平行四边形，所以． ……2分
又分别是棱的中点，所以，所以． ……4分
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
M
N
又平面，平面，
所以∥平面． ……6分
（2）证明：因为四棱柱是直四棱柱，
所以平面，而平面，
所以． ……8分
又因为棱柱的底面是菱形，所以底面也是菱形，
所以，而，所以．……10分
又，平面，且，
所以平面． ……12分
而平面，所以平面平面． ……14分
16．解：（1）在中，因为，所以由余弦定理，
得． ……3分
故在中，由余弦定理，得，
所以． ……6分
（2）因为为边上的中线，所以，所以
，得． ……10分
则，得，所以． ……14分
17．解：（1）在中，由正弦定理，得，
即，从而，． ……4分
所以＝，
故所求函数为，． ……6分
（2）记，
因为，
……10分
由，得，又，所以． ……12分
列表如下：
－
0
＋
递减
极小
递增
所以，当时，取得最小值．
答：当时，
最小． ……14分
18．解：（1）因点是椭圆上一点，且轴，所以椭圆的半焦距，
由，得，所以， ……2分
化简得，解得，所以，所以椭圆的方程为． ……4分
（2）①因，所以，即，
所以线段与线段的中点重合（记为点），由（1）知， ……6分
因圆与线段交于两点，所以，
所以，解得， ……8分
所以，故. ……10分
② 由两点恰好关于原点对称，设，则，不妨设，
因，，所以两条切线的斜率均存在，
设过点与圆相切的直线斜率为，则切线方程为，
即，由该直线与圆M相切，得，即， ……12分
所以两条切线的斜率互为相反数，即，
所以，化简得，即，代入，
化简得，解得（舍），，所以， ……14分
所以，，所以，
所以.
故存在满足条件的，且． ……16分
19．解：（1）， ……2分
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，由得，
得函数在上单调递，在上单调递增． ……4分
（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图像与直线相切，
设切点为，则且，即，.
因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，
即， 得，，设， ……6分
则，，得，，得，
故在上单调递增，在上单调递减，从而，
故实数的取值范围为． ……8分
②当取最大值时，，，，，
，因为函数也为“恒切函数”，
故存在，使得，，
由得，，设， ……10分
则，得，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
1°在单调递增区间上，，故，由，得； ……12分
2°在单调递减区间上，，
，又的图像在上不间断，
故在区间上存在唯一的，使得，故，
此时由，得
，
函数在上递增，，，故．
综上1°2°所述，． ……16分
20．解：（1）由，，所以，为等差数列且公差为，所以，
又为等差数列且公差为，所以． ……2分
（2）当时，是等差数列且公差为，
所以，同理可得， ……4分
两式相加，得；
当时，同理可得， ……6分
所以．又因为，所以，
所以数列是以2为公比的等比数列． ……8分
（3）因为，所以，由（2）知，
所以，
依次下推，得，
所以， ……10分
当时，，
由，得，所以，
所以（为奇数）； ……12分
由（2）知，
依次下推，得，
所以
， ……14分
当时，，
由，得，所以．
所以（为偶数）．
综上所述，． ……16分
方法二：由题意知，， ……10分
当为奇数时，的公差为，的公差为，
所以，，
则由，得，即．
同理，当为偶数时，也有．故恒有． ……12分
①当为奇数时，由，，相减，得，
所以．
……14分
②当为偶数时，同理可得．
综上所述，． ……16分
附加题答案
A
B
P
C
D
O
·
21．（A）解：连，因为半圆的切线，
所以．又，
所以∽，所以，
即． ……5分
因为半圆的直径，所以，
因半圆的半径为5，所以，所以，
由射影定理，得，解得，所以． ……10分
（B）解：由题意得，解得，所以． ……2分
矩阵的特征多项式为，
由，得，所以矩阵的另一个特征值为2． ……6分
此时，对应方程组为，所以，
所以另一个特征值2对应的一个特征向量为． ……10分
（C）解：直线的普通方程为；由，得曲线的普通方程为，……5分
所以，所以直线被曲线截得的弦长为． ……10分
（D）解：根据柯西不等式，有，
因，所以， ……5分
当且仅当时等号成立，解得，
即当时，取最小值
． ……10分
22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为． ……4分
（2）因为每人可被录用的概率为，所以，
，，．
故的概率分布表为：
0
1
2
3
……8分
所以，的数学期望． ……10分
23．解：（1），
因为，，所以，则，
所以，即．
所以，当且仅当，即时等号成立． ……2分
推广：已知,()，则．……4分
证明：①当时命题显然成立；
当时，由上述过程可知命题成立；
②假设时命题成立，
即已知,()时，有成立，
则时，，
由，可知，
故，
故时命题也成立．
综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切恒成立． ……6分
（注：推广命题中未包含的不扣分）
（2）证明：由（1）中所得的推广命题知
①， ……8分
记，
则，
两式相加，得，
，故 ②，
又 ③，
将②③代入①，得，
所以，，证毕． ……10分
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