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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（六）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
9．设不等式组所表示的平面区域为，在内任取一点，的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11． 为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或
12．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，，且，，三点共线，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．执行如图所示的程序框图，输出的值为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数，
的图像与轴的交点，，满足，则________．
15．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，…，，则__________．
16．已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆上存在点，它到定点的距离与到原点的距离之比为，则圆心的纵坐标的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价（元）
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站．甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人付费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
19．如图，在三棱锥中，平面平面，
，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若动点在底面边界及内部，二面角的余弦值为，求的最小值．
20．给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”．已知点是椭圆上的点
（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：
（2），是椭圆上的两点，设，是直线，的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求整数的最小值．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22． [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知，，，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（六）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A
7．B 8．C 9．A 10．C 11．A 12．C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．48 14． 15．4 16．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，
即有，·······3分
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴，·······6分
（2）由余弦定理，有．
因为，，·······9分
有，又，于是有，即有．·······12分
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，
乙乘坐超过站且不超过站的概率为，
设“甲、乙两人付费相同”为事件，
则，
所以甲、乙两人付费相同的概率是．·······5分
（2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，．·······6分
，·······7分
，·······8分
，·······9分
，·······10分
．·······11分
因此的分布列如下：
所以的数学期望．·······12分
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）取中点，，，，．
平面平面，平面平面，平面，
．
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，，，，，
∴，，，·······2分
设平面的法向量，由，得方程组，取，·······4分
∴．·······5分
∴直线与平面所成角的正弦值为．·······6分
（2）由题意平面的法向量，
设平面的法向量为，，
∵，，，，
∴，取，·······9分
∴．∴，∴或（舍去）．
∴点到的最小值为垂直距离．·······12分
20．【答案】（1）；（2）过原点．
【解析】（1）因为点是椭圆上的点．
，即椭圆，·······2分
，，伴随圆，
当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点，·······3分
当直接的斜率存在时：将直线与椭圆联立，
得，
由直线与椭圆有且只有一个公共点得，
解得，由对称性取直线即，
圆心到直线的距离为，
直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长，·······6分
（2）设直线，的方程分别为，，
设点，，
联立得，
则得同理，·······8分
斜率，·······9分
同理，因为，·······10分
所以，
，，三点共线，即直线过定点．·······12分
21．【答案】（1）答案见解析；（2）5．
【解析】（1）由题意可知，，，·······1分
方程对应的，
当，即时，当时，，
∴在上单调递减；·······2分
当时，方程的两根为，
且，
此时，在上，函数单调递增，
在，上，函数单调递减；·······4分
当时，，，
此时当，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时，，单调递增，
当时，单调递减；
当时，在上单调递增，
在，上单调递减；
当时，在上单调递减；·······6分
（2）原式等价于，
即存在，使成立．
设，，则，·······7分
设，
则，∴在上单调递增．
又，，
根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，·······9分
则，且，即，
∴，
由题意可知，又，，∴的最小值为5．······12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．
曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．·······5分
（2）由（1）知，，
，
由知，当，
即时，有最大值．·······10分
23．【答案】（1）或；（2）3．
【解析】（1），
或或，解得或．·······5分
（2），
．
当且仅当时取得最小值．·······10分
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