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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~23题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。
5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.已知复数,是的共轭复数,则=
A. B. C.1 D.-1
3.已知向量,且∥,若均为正数,则的最小值是
2
3
4
甲
乙
9 4
m
2
5 n
1 3
2
A.24 B.8 C. D.
4.甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,
平均数也相同,则图中的m,n的比值
A. B. C.2 D.3
5.已知各项均不为0的等差数列满足,数列为等比数列,且,则
A.4 B.8 C.16 D.25
6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数
书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今
仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了
利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入
的值为3,则输出v的值为
A. B.
C. D.
7.在中,角所对应的边分别是,
若,则角等于
A. B. C. D.
8.给出下列四个命题:
①若样本数据的方差为16,则数据的方差为64;
②“平面向量夹角为锐角,则>0”的逆命题为真命题;
③命题“,均有”的否定是“,使得≤”;
④是直线与直线平行的必要不充分条件.
其中正确的命题个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
A
B
C
D
9.函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为
10.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是
一个等边三角形,则这个几何体的体积为
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为,
点为上一动点,,,且的最小值为,则等于
A.4 B. C. 5 D.
12.定义:如果函数的导函数为,在区间上存在,使得,,则称为区间上的"双中值函数".已知函数是上的"双中值函数",则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知,则__________.
14.若实数,满足,则的最大值是__________.
15.如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们
称它为“赵爽弦图”,,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成
的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概
率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .
16.二项式的展开式中的系数为,则________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列中,,其前n项的和为,且满足.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)证明:当时,.
18.(本小题满分12分)
某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级,等级系数依次为1,2,3,…,8,其中为标准,为标准.已知甲车间执行标准,乙车间执行标准生产该产品,且两个车间的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲车间的等级系数的概率分布列如下表,若的数学期望E(X1)=6.4,求,的值;
X1
5
6
7
8
P
0.2
(2)为了分析乙车间的等级系数,从该车间生产的火腿中随机抽取30根,相应的等级系数组成一个样本如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体,将频率视为概率,求等级系数的概率分布列和均值;
(3)从乙车间中随机抽取5根火腿,利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,已知与分别是边长为1与
2的正三角形,,四边形为直角梯
形,且,,点为的
重心,为中点,平面,为
线段上靠近点的三等分点.
(1)求证:平面;
(2)若二面角的余弦值为,试求异面直线与所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
如图,是圆:内一个定点,
是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交
于点.
(1)当点在圆上运动时,点的轨迹是什么曲线?并求出其轨迹方程;
(2)过点作直线与曲线交于、两点,点关于原点的对称点为,求的面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)令,讨论的单调区间;
(2)若,正实数满足,证明.
请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆的极坐标方程;
(2)过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点,与圆异于点的交点分别为点和点,且.求四边形面积的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知函数的最小值为.
(1)求的值以及此时的的取值范围;
(2)若实数,,满足,证明:.
宁夏银川一中2018届高三第三次模拟数学(理科)参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
C
B
D
B
D
A
B
D
二、填空题:
13. 14.1 15. 16.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:(1)当时,,
,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,,
当时,
从而.
18.解(1),即①·········2分
又,即②·········3分
联立①②得,解得.·········4分
(2)由样本的频率分布估计总体分布,可得等级系数的分布列如下:
3
4
5
6
7
8
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
·······7分
,
即乙车间的等级系数的均值为.·········9分
(3).·········12分
19.(1)解:在中,连延长交于,因为点为的重心
所以,且为中点,又,
所以,所以;··········2分
又为中点,所以,又,
所以,
所以,,,四点共面,··········4分
又平面,平面,
所以平面.··········5分
(2)由题意,平面,所以,平面平面,且交线为,
因为,所以平面,
又四边形为直角梯形,,,所以,所以平面
因为,,所以平面平面,
又与分别是边长为1与2的正三角形,
故以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,,··········7分
因为,所以,,,
设平面的法向量,则,取,··········8分
平面的法向量,··········9分
所以二面角的余弦值,
,··········10分
又,
;
直线与所成角的余弦值为.··········12分
20.解(1)由题意得,
根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆,·········2分
,,,轨迹方程为.·········4分
(2)由题意知(为点到直线的距离),
设的方程为,联立方程得,
消去得,
设,,则,,·········6分
则,·········8分
又,·········9分
,·········10分
令,由,得,
,,易证在递增,,
,面积的最大值.·········12分
21.(1),所以,
当时,因为,所以,即在单调递增,
当时,,令,得,所以当时,,单调递增,当时,单调递减,综上,当时,函数单调递增区间为,无递减区间;当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)当时,,由可得
+,即,令,则,则在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,所以,又由可知,故.
22.解:(Ⅰ)由圆的参数方程(为参数),
得,-----------1分 所以,
又因为圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,
可得 ,,则圆的方程为---------3分
所以由得圆的极坐标方程为,
圆的极坐标方程为--------------5分
(Ⅱ)由已知设,
则由 可得,,
由(Ⅰ)得,
所以------8分
所以当时,即时,有最大值9-----------------10分
23.(Ⅰ)依题意,得 ,故的值为4. ------3分
当且仅当,即时等号成立,即的取值范围为.------5分
(Ⅱ)因为,故.
因为,当且仅当时等号成立, ,当且仅当时等号成立,
所以 ,故,
当且仅当时等号成立. -----10分