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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（七）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．如果数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在圆心角为直角的扇形区域中，，分别为，的中点，在，两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以，为直径的圆，在扇形内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．在如图所示的程序框图中，若输入的，输出的，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知变量满足约束条件，则的最大值为___________．
14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”．在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是__________．
15．在面积为2的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是__________．
16．已知，，是锐角的内角，，所对的边，，且满足，则的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设正项等比数列，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．
18．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第一组，第二组，…，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）求该学校高三年级男生的平均身高；
（2）求这名男生中身高在以上（含）的人数；
（3）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该中身高排名（从高到低）在全省前名的人数记为，求的数学期望．
（附：参考数据：若服从正态分布，则，，．）
19．棱台的三视图与直观图如图所示．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
20．已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．
21．已知定义在区间上的函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若，求实数的取值范围．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（七）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B
7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．4 14．甲 15． 16．．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，········3分
解得，········5分
所以．········6分
（2）由（1）得，········7分
，········9分
∴，········10分
∴．········12分
18．【答案】（1）；（2）10人；（3）．
【解析】（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为
．·····3分
（2）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人．········5分
（3）∵，
∴，而，·····6分
所以全省前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人．········7分
随机变量可取，，，········8分
于是，，；·11分
∴．········12分
19．【答案】（1）见解析；（2）点在的中点位置，理由见解析．
【解析】（1）根据三视图可知平面，为正方形，
所以．········1分
因为平面，所以，········2分
又因为，所以平面．········4分
因为平面，所以平面平面．········5分
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
根据三视图可知为边长为2的正方形，为边长为1的正方形，
平面，且．
所以，，，，．
因为在上，所以可设．
因为，
所以．
所以，········7分
．········8分
设平面的法向量为，
根据，
令，可得，所以．········9分
设与平面所成的角为，
所以．
所以，即点在的中点位置．········12分
20．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得：①········1分
因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，；···2分
设，则，所以，当时，
，代入①解得，所以，，········4分
所以，圆的方程为，椭圆的方程为．········5分
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去可得，
，，，···7分
；········9分
令，则，所以，，
所以，所以．········10分
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，····11分
综上，的取值范围是．········12分
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），·······1分
①当时，．即是上的增函数．·······3分
②当时，，令得，
则的增区间为，减区间为．·······5分
（2）由不等式，恒成立，得不等式，恒成立．
①当时，由（1）知是上的增函数，，
即当时，不等式，恒成立．·······7分
②当时，，，，．···8分
令，则，．
，·······9分
要使不等式，恒成立，
只要．
令，．
．
是上的减函数，又，
，则，即，解得，故，····11分
综合①，②得，即的取值范围是．·······12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为；
（2）．
【解析】（1），
化为，即的普通方程为，
消去，得的普通方程为．········5分
（2）在中，令得，
∵，∴倾斜角，
∴的参数方程可设为，即，
代入得，，∴方程有两解，
，，∴，同号，
．········10分
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）可化为，所以，
所以，所以所求不等式的解集为．········5分
（2）因为函数在上单调递增，
，，．
所以，
所以，所以，所以．
即实数的取值范围是．········10分
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