问题18 等差数列、等比数列的证明问题
一、考情分析
等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．
二、经验分享
1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：an－an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；
【点评】证明数列成等比数列的关键是利用已知得出＝.
【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）2018届高三上学期期末】已知数列满足， 且．
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，，求数列的前项和．
（2）由（1）知，∴，
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∴，
．
(二) 运用等差或等比中项性质
是等差数列, 是等比数列,这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．
【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列,成等比数列．证明：数列为等差数列．
【点评】本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算．
【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比q＝－.
(1)若a3＝,求数列{an}的前n项和；
(2)证明：对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．
【解析】(1)由通项公式可得a3＝a1＝,解得a1＝1,再由等比数列求和公式得Sn＝＝.
(2)证明：∵k∈N*,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)
＝a1qk－1(2q2－q－1)
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＝a1qk－1·
＝0,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0,∴对任意k∈N*,ak,ak＋2,ak＋1成等差数列．
(三) 反证法
解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．如：
【例3】设是公比不相等的两等比数列,．证明数列不是等比数列．
【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列,只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．
【小试牛刀】【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有。
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。
【解析】（1）令n＝2，得：，
即：，
化简，得：，因为，，，
所以，，解得：r＝1.
（2）假设是等比数列，公比为，则，且，
解得或，
由，
可得，
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所以，
两式相减，整理得，
两边同除以，可得，
因为，所以，
【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列,公差为qm
B．数列{bn}为等比数列,公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列,公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm
【答案】C
【解析】 bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1),＝＝qm,故数列{bn}为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1),＝ (qm)m＝qm2,故数列{cn}为等比数列,公比为qm2,D错误,故选C.
五、迁移运用
1.已知数列 满足,则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
2已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时,不是等比数列；若数列是等比数列,当时,与数列是等比数列矛盾,所以,因此““是“数列是等比数列”的必要不充分条件,选B.
因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.
若，当时，
有，不符合题意，舍去；
若，当时，
有，不符合题意，舍去；
故.
8．【山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前10项和.
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9．【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】已知数列满足.
（1）证明： 是等比数列；
（2）令，求数列的前项和.
【解析】（1）由得：
∵，
∴，从而由得 ，
∴是以为首项， 为公比的等比数列．
10．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，
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恒成立.
（1）求常数的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵①
∴②，，
①-②得：，即， ，
又
∴， ，
时， ； 时，.
∵为正数
又因为，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以.
13．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.
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（1）求的值，并证明：；
（2）求数列的通项公式.
14．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列， ，前项和， 是与的等差中项（）．
（1）求证： 是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求前项和．
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15．【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考】设数列的前项和为，点在直线上.
（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和.
【解析】（1）点在直线上，①
（i）当时，.
（ii）当时，② ①-②即.
数列是首项为，公比为的等比数列.
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（2）由已知
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，.
（2）设为数列的前项和，则，
当时，，
两式相减得，经验证当时也成立，
故，当时，，
故当时，
.
利用错位相减法可求得，，.
又也符合上式，故数列的通项公式为.
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