www.ks5u.com
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（八）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）
A．，复数是纯虚数
B．在复平面内对应的点位于第三象限
C．若复数，则存在复数，使得
D．，方程无解
2．在下列函数中，最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）
A．7 B．－4 C．－7 D．4
5．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．在中，，若，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
11．设等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知集合，，且，则实数的值是__________．
14．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于__________．
15．已知实数，满足，则的取值范围为______．
16．已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求．
18． 2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数（）
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数（）
8
17
25
31
39
47
55
66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望．
参考公式及数据：，，，
．
19．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值．
20．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切．
21．已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点x0，且＜＜．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（八）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．C
7．A 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13． 14．3 15． 16．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，
∴，·····3分
∴，，∴，．·····6分
（2）由（1）知，，·····7分
∴，·····9分
∴．·····12分
18．【答案】（1）线性回归方程为，当时，．
（2）．
【解析】
（1）由已知有，，，···3分
，·····4分
故变量关于变量的线性回归方程为，·····5分
所以当时，．·····6分
（2）由题意可知的可能取值有1，2，3，4．·····7分
，，
，．····11分
所以的分布列为
1
2
3
4
．·····12分
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）在直三棱柱中，
又，平面，，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．·····5分
（2）由（1）可知，
以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系．设，，，，，，，，，·····6分
直线的方向向量，平面的法向量，
可知，∴，·····8分
，，，
设平面的法向量，
∴，∴，·····10分
设平面的法向量，
∴，∴，·····11分
记二面角的平面角为，，
∴，
∴二面角的平面角的正弦值为．·····12分
20．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c（c>0），依题意，，
解得，，，故椭圆C的标准方程为；·····5分
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
M，N两点关于x轴对称，点P（4，0）在x轴上，
所以直线PM与直线PN关于x轴对称，
所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，
故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；·····7分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
由得：，
所以，，·····9分
，，
，
所以，，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，
故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；
综上所述，若圆与直线PM相切，
则圆与直线PN也相切．·····12分
21．【答案】（1）1；（2）见解析．
【解析】（1）解：因为，
则等价于，求导可知．·····1分
则当时，，即在上单调递减，
所以当时，，矛盾，故a＞0．·····3分
因为当时，，当时，，所以，
又因为，所以，解得a=1；·····5分
（2）证明：由（1）可知，，
令，可得，记，则，
令，解得：，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，从而有解，即存在两根x0，x2，
且不妨设在上为正、在上为负、在上为正，
所以必存在唯一极大值点x0，且，·····8分
所以，
由可知；
由可知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上所述，存在唯一的极大值点x0，且＜＜．·····12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1），（2）或．
【解析】
（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．
由曲线的极坐标方程得，，
∴曲线的直角坐标方程为．·····5分
（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．
∵，∴，，
当时，，即；
当时，，即．∴或．·····10分
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，原不等式可化为．
①当时，原不等式可化为，解得，所以；
②当时，原不等式可化为，解得，所以；
③当时，原不等式可化为，解得，所以．
综上所述，当时，不等式的解集为．·····5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在恒成立，
所以，即，即，
所以．解得，
故所求实数的取值范围是．·····10分
微信/支付宝扫码支付