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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（九）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列，，，，…，． ①
第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，．
则等于（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的通项公式为_______．
14．若满足条件的整点恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为________．
15．已知正方形的四个顶点分别在曲线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是______．
16．在底面是边长为6的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正
方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，求取值的集合．
18．某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，3，…，8，其中为标准，为标准．已知甲车间执行标准，乙车间执行标准生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲车间的等级系数的概率分布列如下表，若的数学期望，求，的值；
5
6
7
8
（2）为了分析乙车间的等级系数，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数的概率分布列和
均值；
（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准的概率．
19．如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正切值．
20．已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、
．试探究与的关系，并证明你的结论．
21．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．在极坐标系中，已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．
（1）写出圆的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）已知点，直线与圆交于、两点，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（九）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B
7．D 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．或 14．
15． 16．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）函数的单调递减区间为，；（2）
取值的集合为．
【解析】（1）
，·········3分
因为周期为，所以，故，·········4分
由，，得，，
函数的单调递减区间为，，·········6分
（2），即，
由正弦函数得性质得，，
解得，所以，，
则取值的集合为．·········12分
18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）．
【解析】（1），即①·········2分
又，即②·········3分
联立①②得，解得．·········4分
（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数的分布列如下：
3
4
5
6
7
8
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
·······7分
，
即乙车间的等级系数的均值为．·········9分
（3）．·········12分
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴，即，·········1分
∵平面平面，∴平面，·········2分
而平面，∴．·········3分
连接，∵四边形是菱形，∴，·········4分
∴平面，
∵平面，∴．·········6分
（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．
所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，．······7分
设平面和平面的法向量分别为，，
∵，．
∴由，令，则，··9分
同理，求得．·········10分
∴，故二面角的平面角的正切值为．·······12分
20．【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，·········2分
∵，∴．故可设椭圆的方程为：，
因为点在椭圆上，
所以将其代入椭圆的方程得．·······4分
∴椭圆的方程为．·········5分
（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，
即，，为与椭圆的两个交点．
将代入方程化简得：．
所以，．·········7分
．···10
分
又由，解得，，
即点的坐标为，所以．
因此，与的关系为：．·········12分
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），·········1分
①当时，，由，得，
由，得．
∴的单增区间为，单减区间为．·········3分
②当时，令，或．
当，即时，，
∴在单增，
当，即时，由得，，
由得，．
∴单增区间为，，单减区间为．
当，即时，由得，，
由得，．
∴的单增区间为，，
的单减区间为．·········6分
（2）．
i．当时，只需，即时，满足题意；·········7分
ii．当时，在上单增，不满足题意；·········8分
当时，的极大值，不可能有两个零点；·········9分
当时，的极小值，，，
只有才能满足题意，即有解．
令，，则．
∴在单增．
∵，
∴，方程无解．·········11分
∴综上所述，．·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由得，化为直角坐标方程为，
所以圆的直角坐标系方程为．
由消得，所以直线的普通方程为．·······5分
（2）显然直线过点，
将代入圆的直角坐标方程得，
则，，
根据直线参数方程中参数的几何意义知：．··10分
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
①时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综合①②③可知，原不等式的解集为．········5分
（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，
即，且，，
因此．········10分
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