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2018 -2019学年度下学期
孝感市部分普通高中联考协作体期中考试
高一数学试卷
命题人：胡曙彪 审题人：詹学理
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项。
1. 若，则( )
A． B． C． D．
2. 在中，，，，则( )
A． B． C． D．
3. 的值是( )
A. B. C. D.
4. 下列命题正确的是( )
A.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D.若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.
5. 设△的内角的对边分别为，若,则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
7. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积与原正方体的体积比为( )
A. B. C. D.
8. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于( )
A．
B．
C．
D．
9. 在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是( )
A． B． C． D．
10. 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为( )
A． B．
C． D．2
11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为( )
A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺
12. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行 ②与是异面直线
③与成角 ④与是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、写不清、模棱两可均不得分。
13. 已知球的表面积为，则球的体积为 .
14. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于 .
15. 已知，则的值是 .
16. 已知，且，则的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）已知，
（1）求的值；（2）求的值.
18.（本小题满分12分）如图，在中，已知点在边上，， ，，的面积为
.
（1）求的值；
（2）求的长.
19. （本小题满分12分）如图，在四面体中，, 分别是线段，的中点， , 分别是线段，上的点，且.求证：
（1）四边形是梯形；
（2），，三条直线相交于同一点.
20. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中， 、 分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
21. （本小题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值．
22. （本小题满分12分）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计。而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑。沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效。通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果。为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
2018 —2019学年度下学期孝感市普通高中联考协作体
期中联合考试
高一数学参考答案及评分细则
说明：
一、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（每小题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
B
D
A
D
A
C
A
C
B
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17.解：（1），…………………………（3分）
解得. …………………………………………（5分）
（2）分母应为tan2θ+1
又由（1）知，所以.………………………（10分）
18.解：（1）的面积为
解得， ……………………………………………………………（2分）
又易知为锐角，所以 ………………………………（4分）
所以 …………………………（6分）
（2）根据余弦定理可得， ………………………（8分）
． …………………………（12分）
19.证明:（1）连结BD,
∵E, H分别是边AB，AD的中点，
∴//，且 ……………………………………………………（2分）
又∵，
∴//，且 ……………………………………………………（4分）
因此//且≠
故四边形是梯形； ………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知，相交，设
∵平面，∴平面 …………………………………（8分）
同理平面，又平面平面
∴
故EF和GH的交点在直线AC上.
所以AC，EF，GH三条直线相交于同一点 ……………………………………………（12分）
20. 证明：（1）设与的交点为，连结，
因为四边形为平行四边形，所以为中点， …………………………（2分）
又是的中点，
所以是三角形的中位线，， …………………………………（4分）
又因为平面，平面，
所以平面. ……………………………………………………………（6分）
（2）因为P为线段的中点，点是的中点，
所以且
所以四边形为平行四边形
所以， ………………………………………………………………………（8分）
又因为平面，平面，
所以平面. ………………………………………………………（10分）
又平面，
平面，平面
所以平面平面. …………………………………………………（12分）
21.解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，可得，
又由，得， …………………………（2分）
即，即
所以
可得． ……………………………………………………………………（4分）
又因为，可得． ………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
即， ………………………………………………………………（8分）
由不等式得：，当且仅当时，取等号
所以，解得 …………………………………………………（10分）
所以△ABC的面积为
所以△面积的最大值为. ………………………………………………（12分）
22.解：设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，
因为底面长为米，所以底面的宽为 …………………………………………（2分）
依题意有
…………………………………………………………………（6分）
因为，由基本不等式和不等式的性质可得
………………………………………（9分）
即
所以 …………………………………………………………………………（10分）
当且仅当，即时，等号成立 ……………………………………………（11分）
所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是元. ………………………………………………………………………………………（12分）
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