炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)
数 学(文科)
命题人、审题人：彭萍 苏萍 曾克平
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知复数z满足iz＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)
(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i
【解析】复数z满足iz＝|3＋4i|－i，∴－i·iz＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.
(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)
(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8
【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，
∴a≥[x2]max＝9.
∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.
(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)
(A)y＝x (B)y＝lg x (C)y＝2x (D)y＝
【解析】根据题意得，函数y＝10lgx的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，
A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．
B项，y＝lgx，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．
C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．
D项，y＝，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.
(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13
【解析】当m＝209，n＝121，m除以n的余数是88，
此时m＝121，n＝88，m除以n的余数是33，
此时m＝88，n＝33，m除以n的余数是22，
此时m＝33，n＝22，m除以n的余数是11，
此时m＝22，n＝11，m除以n的余数是0，
此时m＝11，n＝0，
退出程序，输出结果为11，故选：B.
(5)已知logab＝－1，2a>3，c>1，设x＝－logb，y＝logbc，z＝a，则x、y、z的大小关系正确的是(A)
(A)z＞x＞y (B)z＞y＞x (C)x＞y＞z (D)x＞z＞y
【解析】∵logab＝－1，2a>3，c>1，
∴x＝－logb＝－logba＝－×＝，2a＞3，a＞log23＞1，b＝∈(0，1)．
y＝logbc＜0，z＝a＞log23>×log2＝，∴z＞x＞y.故选：A.
(6)等差数列x1、x2、x3、…、x11的公差为1，若以上述数据x1、x2、x3、…、x11为样本，则此样本的方差为(A)
(A)10 (B)20 (C)55 (D)5
【解析】∵等差数列x1，x2，x3，…，x11的公差为1，
x1，x2，x3，…，x11的平均数是x6，
∴以数据x1，x2，x3，…，x11为样本，则此样本的方差：
S2＝[(x1－x6)2＋(x2－x6)2＋(x3－x6)2＋(x4－x6)2＋(x5－x6)2＋(x6－x6)2＋(x7－x6)2＋(x8－x6)2＋(x9－x6)2＋(x10－x6)2＋(x11－x6)2]＝(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.
故选：A.
(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)
(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)
【解析】由三视图还原原几何体如右图：
该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，
左右为边长是4的正方形．
∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝
64＋8π＝8(π＋8)．
故选：B.
(8)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为(A)
(A) (B)[0，1] (C) (D)
【解析】设点M(x，y)，由MA＝2MO，知：＝2，
化简得：x2＋(y＋1)2＝4，
∴点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝，∴1≤≤3，
化简可得 0≤a≤，故选A.
(9)已知函数f(x)＝cos，若存在x1、x2、…、xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤4π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝16(n≥2，n∈N*)，则n的最小值为(C)
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
【解析】∵f(x)＝cos对任意xi，xj(i，j＝1，2，3，…，n)，
都有|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max－f(x)min＝2，
要使n取得最小值，尽可能多让xi(i＝1，2，3，…，n)取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xn≤4π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝16，
按下图取值即可满足条件，
即有|1＋|＋2×7＋|1－|＝16.
则n的最小值为10.故选：C.
(10)如图所示，两个非共线向量、的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且＝x＋y(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(B)
(A) (B) (C) (D)
【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，||＝||＝1时，建立直角坐标系，
∴＝x＋y
得x＋y＝，所以x2＋y2的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以＝λ＋μ，有λ＋μ＝1，
又因为M、N分别为OA与OB的中点，
所以＝λ＋μ＝λ＋μ
∴x＋y＝λ＋μ＝
原题转化为：当x＋y＝时，求x2＋y2的最小值问题，
∵y＝－x，∴x2＋y2＝x2＋＝2x2－x＋
结合二次函数的性质可知，当x＝时，取得最小值为.故选B.
(11)已知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)
(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]
【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
根据双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＝8a|PF2|，
∴m－n＝2a，m2＝8an，∴＝，
∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，∴n＝2a，m＝4a，
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|＋|PF2|，
∴2c＜4a＋2a，∴＜3，
当P为双曲线顶点时，＝3
又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤3，故选：A.
(12)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x2－f(－x)．当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜2x；若f(m＋2)－f(－m)≤4m＋4，则实数m的取值范围是(C)
(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞)
【解析】解：令g(x)＝f(x)－x2，
g′(x)＝f′(x)－2x，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜2x，
∴g(x)在(－∞，0)递减，
而g(－x)＝f(－x)－x2，
∴f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋x2＋g(x)＋x2＝2x2，
∴g(－x)＋g(x)＝0，
∴g(x)是奇函数，g(x)在R上递减，
若f(m＋2)－f(－m)≤4m＋4，
则f(m＋2)－(m＋2)2≤f(－m)－m2，
∴g(m＋2)≤g(－m)，
∴m＋2≥－m，解得：m≥－1，故选：C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
(13)若实数x，y满足则目标函数z＝3x－2y＋1的最小值为__－__．
【解析】作出可行域，则当直线z＝3x－2y＋1过点A时z取最小值－.
(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____．
【解析】根据题意，大圆的直径为y＝3sinx的周期，且T＝＝8，面积为S＝π·＝16π，一个小圆的面积为S′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P＝＝＝.
(15)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝，且S△ABC＝6，则b＝__4__．
【解析】已知等式2sin B＝sin A＋sin C，利用正弦定理化简得：2b＝a＋c，
∵cos B＝，∴可得sin B＝＝，∴S△ABC＝acsin B＝ac×＝6，可解得ac＝15，∴余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB＝－2ac＝4b2－2×15×，∴可解得b＝4，故答案为4.
(16)已知f＝25－x，g＝x＋t，设h＝max.若当x∈N＋时，恒有h≤h，则实数t的取值范围是____．
【解析】设y＝f与y＝g交点横坐标为x0，则h＝，
∵x∈N＋时，总有h≤h，所以若h＝f，必有h＝g，只需g≥f，t＋6≥1，即t≥－5，若h＝g，必有h＝f，只需f≥g，2≥t＋5，t≤－3，综上，－5≤t≤－3，故答案为.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款(单位：元)
顾客人数
20
a
30
20
b
统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4 000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．
(Ⅰ)试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；
(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：
一次购物款(单位：元)
返利百分比
0
6%
8%
10%
请问该商场日均大约让利多少元？
【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b＋20＝100×30%，b＝10；2分
a＝100－＝20.4分
该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×＝2 400. 6分
(Ⅱ)设顾客一次购物款为x元．
当x∈时，顾客约有4000×20%＝800人；
当x∈时，顾客约有4000×30%＝1200人；
当x∈时，顾客约有4000×20%＝800人；
当x∈时，顾客约有4000×10%＝400人.10分
该商场日均大约让利为：
800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分
(18)(本小题满分12分)
在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列．
(Ⅰ)求q，an；
(Ⅱ)若q＜1，求满足a1－a2＋a3－…＋(－1)2n－1a2n>10的最小的正整数n的值．
【解析】(Ⅰ)由16＋16q2＝2(16q＋2)得4q2－8q＋3＝0，q＝或2分
当q＝时，an＝25－n，4分
当q＝时，an＝16.6分
(Ⅱ)q＜1，an＝25－n，a1－a2＋a3＋…＋(－1)2n－1a2n＝8分
＝>10，10分
4，n>2，正整数n的最小值为3.12分
(19)(本小题满分12分)
如图，几何体ABC－A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB＝4，AA1＝3，A1D＝1，AA1⊥平面ABC，M为AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D.
(Ⅰ)若N在棱BC上，且BN＝2NC，证明：EN∥平面BC1D；
(Ⅱ)过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置(说明作法及理由)，并求线段OE的长．
【解析】(Ⅰ)证明：∵EM∥平面BC1D，EM平面ABDA1，
平面ABDA1∩平面BC1D＝BD，
∴BD∥EM.
过D作DH⊥AB于H，连接CH，则CH∥C1D，则HM＝AB－AB＝AB，
∴HM∶MB＝CN∶NB＝1∶2，
∴MN∥CH，则MN∥C1D.
∵EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面BC1D.
∵EN平面EMN，∴EN∥平面BC1D.6分
(Ⅱ)解：在线段AB上取一点F，使BF＝A1D＝1，则A1F∥BD，
由(Ⅰ)知EM∥BD，∴EM∥A1F，∴＝＝，
∴AE＝×3＝2.
取BC的中点G，连接AG，EG，过A作AO⊥EG于O，则AO⊥平面BCE.9分
证明如下：由题意可知，△ABC为等边三角形，则AG⊥BC，
又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC.
∵AG∩AA1＝A，∴BC⊥平面AEG，∴BC⊥AO.
又EG∩BC＝G，∴AO⊥平面BCE.由射影定理可得，AE2＝OE×EG，
又AG＝2，EG＝2，∴OE＝.12分
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点M为椭圆C上的任意一点，1·的最小值为2.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)已知椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点D(a，t)为第一象限内的点，过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．
【解析】(Ⅰ)设M(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
则＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
1·＝(－c－x0，－y0)(c－x0，－y0)＝x20－c2＋y20，
由∵＋＝1(a>b>0)，y20＝b2－x20，
1·＝(1－)x20＋b2－c2，
由－a≤x0≤a，则x0＝0，则·取最小值，最小值为b2－c2，
∴b2－c2＝2，又椭圆的离心率为
∴a2＝4，b2＝3，则椭圆的标准方程：＋＝1；4分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F2(1，0)，D(2，t)，B(2，0)，设以BD为直径的圆E，其圆心E，
则圆E：(x－2)2＋＝， (6分)
直线AD的方程为y＝(x＋2)，
设过点F2与圆E相切的直线方程设为x＝my＋1，
则＝丨丨，则m＝，(8分)
解方程组解得： (10分)
将代入椭圆方程成立，即＋＝1，
∴点P在椭圆C上．(12分)
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝，g(x)＝b(x＋1)，其中a≠0，b≠0
(Ⅰ)若a＝b，讨论F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(Ⅱ)已知函数f(x)的曲线与函数g(x)的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1、x2，证明：g(x1＋x2)>2.
【解析】(Ⅰ)由已知得F(x)＝f(x)－g(x)＝a(－x－1)，
∴F′(x)＝(1－x2－ln x)
当0＜x＜1时，∵1－x2＞0，－ln x＞0，∴1－x2－ln x＞0，；
当x＞1时，∵1－x2＜0，－ln x＜0，∴1－x2－ln x＜0.
故若a＞0，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
故若a＜0，F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分)
(Ⅱ)不妨设x1＞x2，依题意a＝b(x1－1)，
∴aln x1＝b(x21－x1)………①，同理得aln x2＝b(x22－x2)………②，
由①－②得aln＝b(x1－x2)(x1＋x2－1)，
∴＝(x1＋x2－1)，(8分)
∴g(x1＋x2)＝(x1＋x2)(x1＋x2－1)＝ln.
故只需证ln>2，
取t＝>1即只需证明ln t>2，对任意的t>1成立，
即只需证p(t)＝ln t－2·>0对t>1成立，p′(t)＝>0.
∴p(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，
∴p(t)＞p(1)＝0，t＞1成立，故原命题得证．(12分)
请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．
【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x，
∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ
∴.(x－2)2＋y2＝4(5分)
(Ⅱ)将(t为参数)代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：
化简得t2－2tcos α－3＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
t1＋t2＝2cos α，t1·t2＝－3
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝
可得cos α＝±.∴α＝或α＝.
∴直线的倾斜角为α＝或α＝.(10分)
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.
(Ⅰ)若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
(Ⅱ)若 ＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，求x的取值范围．
【解析】(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
∴ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥；(5分)
(Ⅱ)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)≥9，
故＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，则|2x－1|－|x＋2|≤9，
当x≤－2时，解得－6≤x≤－2，
当－2
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