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炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)
数 学(理科)
命题人：李昌平 黄 钢 审题人：吴锦坤
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知集合A＝，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝(A)
(A) (B) (C) (D)
(2)已知复数z满足z＋＝3＋i，则z＝(D)
(A)1－i (B)1＋i (C)－i (D)＋i
(3)“a＋b>2c”的一个充分条件是(C)
(A)a>c或b>c (B)a>c且bc且 b>c (D)a>c或bg(x0)，
所以g(x)＝x是f(x)＝x2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；
对于②，g(1)＝1，当x∈[1，＋∞)时，g(x)∈[1，＋∞)，设u(x)＝f(x)－g(x)＝x2－ln x－1，
则u′(x)＝2x－>0，x∈[1，＋∞)，所以对任意的x0∈(1，＋∞)，u(x0)>u(1)＝0，f(x0)>g(x0)，
所以g(x)＝ln x＋1是f(x)＝x2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；
对于③，当x＝5时，g(5)＝25－1＝31>25＝f(5),
所以g(x)＝2x－1不是f(x)＝x2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；
对于④，g(x)＝2－在[1，＋∞)的值域为[1，2)，所以g(x)＝2－不是f(x)＝x2在[1，＋∞)上的“追逐函数”．
综上所述，其中是f(x)＝x2在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有①②.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD＝3DC，AB＝， ∠ADB＝，∠C＝.
(Ⅰ)求DC的值；
(Ⅱ)求tan∠ABC的值．
【解析】(Ⅰ)如图所示， ∠DBC＝∠ADB－∠C＝－＝，
故∠DBC＝∠C, DB＝DC，
设DC＝x，则DB＝x, DA＝3x.
在△ADB中，由余弦定理AB2＝DA2＋DB2－2DA·DB·cos∠ADB，
即7＝＋x2－2·3x·x·＝7x2，解得x＝1，DC＝1.(6分)
(Ⅱ)在△ADB中，由AD>AB，得∠ABD>∠ADB＝，
故∠ABC＝∠ABD＋∠DBC>＋＝，
在△ABC中，由正弦定理＝，即＝，故sin∠ABC＝，
由∠ABC∈，得cos∠ABC＝－，tan∠ABC＝－＝－.(12分)
(18)(本小题满分12分)
如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC与BD交于O点，现将△ACD沿AC折起得到三棱锥D－ABC，M，N分别是OD，OB的中点．
(Ⅰ)求证： AC⊥MN；
(Ⅱ)若三棱锥D－ABC的最大体积为V0，当三棱锥D－ABC的体积为V0，且二面角D－AC－B为锐角时，求二面角D－NC－M的余弦值．
【解析】(Ⅰ)依题意易知OM⊥AC, ON⊥AC, OM∩ON＝O，
∴AC⊥平面OMN，又∵MN平面OMN，∴AC⊥MN.(4分)
(Ⅱ)当体积最大时三棱锥D－ABC的高为DO，当体积为V0时，高为DO，
△OBD中， OB＝OD，作DS⊥OB于S，∴DS＝OD，∴∠DOB＝60°，
∴△OBD为等边三角形，∴S与N重合，即DN⊥平面ABC.(6分)
以N为原点， NB所在直线为y轴，过N且平行于OA的直线为x轴， ND为z轴，建
立如图所示的空间直角坐标系．
∴N， C， D， M.
设n1＝为平面CMN的法向量，
∵＝， ＝，
∴取n1＝，
设n2＝是平面CND的法向量， ＝， ＝，
∴取n2＝，
设二面角D－NC－M大小为θ，则|cos θ|＝＝＝＝.
显然所求二面角D－NC－M为锐角，故cos θ＝.(12分)
(19)(本小题满分12分)
为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，度量其内径尺寸(单位：μm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布N.
(Ⅰ)假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在之外的零件数，求P及X的数学期望；
(Ⅱ)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
(ⅰ)计算这一天平均值μ与标准差σ；
(ⅱ)一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为(单位： μm)：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P＝0.954 4，P＝0.997 4，
0．997 410≈0.974 3, 0.997 44≈0.99, 0.954 43≈0.87，
0．026×0.997 49≈0.025 4, 0.045 62≈0.002, ≈5.933 0.
【解析】(Ⅰ)由题意知：
P(X＝0或＝C·0.997 410＋C·0.997 49
＝0.974 3＋0.025 4＝0.999 7，
P＝1－P－P＝1－0.999 7＝0.000 3，
∵X～B，∴EX＝10×0.002 6＝0.026 0.(6分)
(Ⅱ)(ⅰ)μ＝＝104 μm，
σ2＝＝36，则σ＝6 μm.
(ⅱ)结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则X服从正态分布N，
P＝P＝0.997 4，
零件内径尺寸在之外的概率只有0.002 6，而85，根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．(12分)
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点F1、F2为椭圆E的左、右焦点，且F1、F2关于直线l的对称点恰为圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝3的一条直径的两个端点．
(Ⅰ)求椭圆E的方程和直线l的方程；
(Ⅱ)设动直线m与椭圆E有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与m相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝3的圆心C(2，2)，半径r＝.
由题意知|F1F2|＝2r，即2c＝2，又＝，a2＝b2＋c2，则a＝2，b＝1，c＝，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(3分)
显然直线l垂直平分线段OC，设线段OC中点为Q，则Q(1，1)，kOC＝1，
所以直线l的方程为y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.(5分)
(Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2＋y2＝5.(6分)
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)．
当直线m的斜率存在时，设m的方程为y＝kx＋t.
由方程组 得x2＋8ktx＋4t2－4＝0,
∵直线m与椭圆C有且仅有一个公共点，
∴Δ1＝－4＝0，即t2＝4k2＋1.
由方程组 得x2＋2ktx＋t2－r2＝0，
则Δ2＝－4>0，(8分)
设P1，P2，则x1＋x2＝，x1x2＝，
设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2＝＝＝
＝＝，
将t2＝4k2＋1代入上式，得k1k2＝，(10分)
要使得k1k2为定值，则＝，即r2＝5，代入Δ2验证知符合题意．
∴当圆的方程为x2＋y2＝5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值－.
当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x＝±2.
此时，圆x2＋y2＝5与l的交点P1，P2也满足k1k2＝－.
综上，当圆的方程为x2＋y2＝5时，圆与l的交点P1，P2满足直线OP1，OP2的斜率之积为定值－.(12分)
(21)(本小题满分12分)
已知f(x)＝ex，g(x)＝－x2＋2x＋a，a∈R.
(Ⅰ)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；
(Ⅱ)记φ(x)＝设A(x1，φ(x1))，B(x2，φ(x2))为函数φ(x)图象上的两点，且
x1
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