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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（十）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
3．已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线，，，及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为（ ）
A．3 B． C． D．6
6．设与均为锐角，且，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．30
8．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（ ）
A． B．1 C． D．
9．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为且的，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
10．数列的前项和为，．则数列的前50项和为（ ）
A．49 B．50 C．99 D．100
11．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为2，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__．
14．已知向量，，若，则______．
15．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果__________．
16．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，的最小值为5，求的值．
18．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明(系数精确到0.01)；
（2）建立关于的回归方程(系数精确到0.01)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01)．
参考数据：，，，，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，，，，，．参考公式：
（1）样本的相关系数．
（2）对于一组数据，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19．四棱台被过点，，的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形是边长为2的菱形，，平面，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
20．已知椭圆的左右顶点分别为，；点坐标为，为椭圆上不
同于，的任意一点，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一交点为，的中点为，若，求直线的斜率．
21．已知函数（，为自然对数的底数）．
（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为： (为参数)，点．
（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值．
23．已知函数．
（1）若不等式有解，求实数的最大值；
（2）在（1）的条件下，若正实数，满足，证明：．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（十）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B
7．B 8．A 9．A 10．A 11．D 12．D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13． 14．10 15．9 16．4
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知：
·········2分
，·········4分
所以的最小正周期为．·········6分
（2）由（1）知：，
当时，．·········8分
所以当时，的最小值为．·········10分
又∵的最小值为5，∴，即．·········12分
18．【答案】（1）见解析；（2）24.59万元．
【解析】（1）由题可知，，·········2分
将数据代入，
得，·········5分
因为与的相关系数近似为0.995，说明与的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合与的的关系．（需要突出“很强”，“一般”或“较弱”，否则不给分）．····6分
（2）将数据代入得，·········8分
，
所以关于的回归方程．·········10分
由题解得，即至少需要投入促销费用24.59万元．······12分
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）其底面四边形是边长为2的菱形，
则有，·········1分
∵平面，∴，·········2分
而，∴平面，·········4分
平面；∴．·········6分
（2）利用等体积法，·········8分
根据题目条件可求出，，，可知是直角三角形设点到平面的距离为，
，·········9分
，·········10分
解得．·········2分
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
∴，∴，·········2分
整理得：，·········3分
∵、两点在椭圆上，
∴椭圆的方程为．·········4分
（2）由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，．
联立，则，·········6分
∴，·········7分
∴，·········8分
∴，·········9分
∵
，·········10分
又∵，∴，·········11分
∴，∴，∴．·········12分
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】由题得，
．·········2分
（1）由曲线在点处的切线垂直于轴，得，
即，
解得．·········4分
（2）设，
则只需求当时，函数的最小值．
令，解得或，·········5分
而，即．
从而函数在区间和区间上单调递增，
在区间上单调递减．·········7分
当，即时，函数在区间上为减函数，；··9分
当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数的极小值即为其在区间上的最小值，．·········11分
综上可知，当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为．·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），，，
，；，
的直角坐标方程为：，
，，
的普通方程为．·········5分
（2）将，，
得：，，，
，，
由的几何意义可得：．·········10分
23．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）若不等式有解，只需的最大值即可．
因为，所以，解得，
所以实数的最大值．·········5分
（2）根据（1）知正实数，满足，
由柯西不等式可知，
所以，，因为，均为正实数，
所以(当且仅当时取“=”)．·········10分
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