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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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2018届高考考前适应性试卷
文 科 数 学（一）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，
所以．故选B．
2．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为．
所以，所以．
复数在复平面内对应的点为，故选A．
3．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）
A．46，45 B．45，46 C．46，47 D．47，45
【答案】A
【解析】由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，，故中位数为，故选A．
4．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若直线与圆相交，则，解得或，又，∴所求概率，故选C．
5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】D
【解析】设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，
则，，∴竹子的容积为
，故选D．
6．已知，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中说法正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】①若，，则或；②若，，则或；
③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直．故选C．
7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】第一次循环，，，；第二次循环，，，；第三次循环，，，；第四次循环，，，，此时，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C．
8．已知函数，且，，则实数的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】根据题意可知，点是图象的一个对称点，直线是图象的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而求得可以是3，故选B．
9．已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将点坐标代入抛物线方程，得，解得，∴点，
据题设分析知，，，又（为外接球半径），，，外接圆面积，故选B．
10．中，，，，在线段上任取一点，则的面积小于的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得：，，，；的面积小于的概率为．故选C．
11．已知双曲线，点是直线
上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线，即，圆与双曲线的右支没有公共点，则直线与双曲线的渐近线之间的距离大于或等于，即，所以．
12．设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，，当时，，
∴在递减，而，∴在是奇函数，
∵在区间上的唯一零点为2，
即在区间上的唯一零点为2，
∴，，，
当时，由已知，得，符合，
当时，，即，得，
当时，，即，得，
综上：．故选：A．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知向量与的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】，，与的夹角为，，
又，，故答案为．
14．若，，则__________．
【答案】
【解析】由，可得．又，结合，可得，．，故答案为．
15．已知实数，满足不等式组，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为．
16．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
如图，取的中点，分别连接，，易知，（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，，在中，由余弦定理，
得，故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设该等差数列的首项是，公差为，根据题意可知，解得，所以，所以数列的通项公式是．
（2），
所以，从而得到当为奇数时，，当为偶数时，，所以．
18．（12分）某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：
（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测年该地区农村居民家庭人均纯收入；
（2）在年至年中随机选取两年，求这两年人均纯收入都高于千元的概率．
【答案】（1），年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元；（2）．
【解析】（1）由题，，，
代入得，，当时，（千元）
（2）记：，即，
记事件“这两年人均纯收入都高于千元”，
则，即，
则．
19．（12分）如图，已知四棱锥，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若平面底面，为线段上的点，且，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连接，．∵，
∴，为菱形，，
∴，∴面．又，
所以面．所以．
（2）由题知．
因为平面底面，则，，两两垂直．
则．则．
20．（12分）如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为．
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，
所以，解得．
又椭圆经过点，所以．
所以．所以椭圆的标准方程为．
（2）因为线段的中垂线的斜率为，
所以直线的斜率为．所以可设直线的方程为．
据得，
设点，，，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以点在直线上，
又点，也在直线上，
所以，，三点共线．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）比较与的大小，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，即时，，
∴在上单调递减；
当时，即时，令，得；
令，得．
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）．
证明如下：设，
∵为增函数，
∴可设，∵，，
∴，
当时，；当时，．
∴，
又，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．
（1）求直线的普通方程，
（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线的普通方程为．
（2）点的直角坐标是．
过点作直线的垂线，垂足为，则点即为直线上的点到点距离最小时的点．
直线的方程是，即．
据解得．
所以直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标是．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（l）若，解不等式；
（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）若，则可化为，
所以，所以或，
所以或，故不等式的解集是．
（2）当时，，
讨论：当，即时，，；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，即时，，，
当时，即时，，．
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