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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2018届高考考前适应性试卷
理 科 数 学（一）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，
所以．故选B．
2．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为．
所以，所以．
复数在复平面内对应的点为，故选A．
3．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）
A．46，45 B．45，46 C．46，47 D．47，45
【答案】A
【解析】由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，，故中位数为，故选A．
4．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若直线与圆相交，则，解得或，又，∴所求概率，故选C．
5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】D
【解析】设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，
则，，∴竹子的容积为
，故选D．
6．已知，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中说法正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】①若，，则或；②若，，则或；
③若，，则，正确；④若，，则或或与相交且与不垂直．故选C．
7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】第一次循环，，，；第二次循环，，，；第三次循环，，，；第四次循环，，，，此时，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C．
8．已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，且，在区间
上有最小值，无最大值，
∴直线为的一条对称轴，∴，
∴，，又，∴当时，．易知当时，此时在区间内已存在最大值．故选D．
9．已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将点坐标代入抛物线方程，得，解得，∴点，
据题设分析知，，，又（为外接球半径），，，外接圆面积，故选B．
10．在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，，二项展开式的二项式系数和为，，，解得，的展开式的通项为，令，得，故展开式的常数项为
，故选B．
11．已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（，，分别表示，，的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设圆与的三边，，分别相切于点，，，分别连接，，，则，，，，，
，又，，，，，，，又，，故选A．
12．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】引入函数，
则，
，，
又，，，∴函数在区间上单调递增，
又，不等式“”等价于“”，即，
又，，又函数在区间上单调递增，，
解得，又函数的定义域为，得，解得，
故不等式的解集是，故选D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知向量与的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】，，与的夹角为，，
又，，故答案为．
14．若，，则__________．
【答案】
【解析】由，可得．又，结合，可得
，．，故答案为．
15．已知实数，满足不等式组，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为．
16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】
根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．
（l）求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，成等差数列，
所以，①
所以．②
①－②，得，所以．
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
（2）根据（1）求解知，，，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
．
18．（12分）今年，楼市火爆，特别是一线城市．某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
（l）求每个家庭能中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，
所以每个家庭能中签的概率．
（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，
，，，
的分布列为
的数学期望．
19．（12分）如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．
（l）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
又，，
所以，
又因为，
所以是的斜边上的中线，
所以是的中点，又因为是的中点
所以是的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，且，分别是，的中点，
所以，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，所以，
令，则，
设直线与平面所成角的大小为，则．
又，所以，所以．
故直线与平面所成角的正切值为．
20．（12分）如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为．
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，
所以，解得．
又椭圆经过点，所以．
所以．所以椭圆的标准方程为．
（2）因为线段的中垂线的斜率为，
所以直线的斜率为．所以可设直线的方程为．
据得，
设点，，，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以点在直线上，
又点，也在直线上，
所以，，三点共线．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；
（2）若函数在区间上无零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）实数的最小值是；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，．
讨论：当时，，
此时函数在上单调递增，满足题设；
当时，令，得；令，得，
所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又函数在区间上单调递增，所以，解得．
综上，实数的最小值是．
（2）由，得．
设，，则“函数在区间上无零点”等价于“函数与函数的图象在上没有公共点”．
讨论：
当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数．
作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：
（ⅰ）如图1，，即，解得；
（ⅱ）如图2，对任意恒成立．
又当时，，所以，解得．
又，得．综上，或；
当时，符合题意；
当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数．
作出函数与函数的草图如下：
观察图象可知，符合题意．
综上，所求实数的取值范围是．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．
（1）求直线的普通方程，
（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线的普通方程为．
（2）点的直角坐标是．
过点作直线的垂线，垂足为，则点即为直线上的点到点距离最小时的点．
直线的方程是，即．
据解得．
所以直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标是．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（l）若，解不等式；
（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）若，则可化为，
所以，所以或，
所以或，故不等式的解集是．
（2）当时，，
讨论：当，即时，，；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，即时，，，
当时，即时，，．
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