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2018届高考考前适应性试卷
理 科 数 学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列复数中虚部最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，虚部是2；对于B，虚部是；对于C，，虚部是6；对于D，，虚部是4．∴虚部最大的是C，故选C．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
所以，选D．
3．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
则：．本题选择B选项．
4．若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B．8 C．9 D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，
故选B．
5．在中，，，且，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理知，又知，，所以由余弦定理知：，所以，故选A．
6．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为；
由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为，∴，故选D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A． B．84 C． D．280
【答案】C
【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为．故选C．
8．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）
A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74
【答案】C
【解析】执行程序框图，，，；，，；，，；，，，结束循环，输出的，分别为98，78，
故选C．
9．记不等式组表示的区域为，点的坐标为．有下面四个命题：
，；，；
，；，．
其中的真命题是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：
由图可得，，，故正确，则错误；令，即
，由图可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小，则，故正确，错误．故选A．
10．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】设四棱柱的高为，则，解得，则与底面所成角的正切值为．
11．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，∴函数是偶函数，
∴当时，易得为增函数，
∴，，
∵，，，∴，
∴，故选D．
12．已知椭圆的右焦点关于直线的对称点为，点为的对称中心，直线的斜率为，且的长轴不小于4，则的离心率（ ）
A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为
C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为
【答案】B
【解析】设，，则，解得，则，，，，即的离心率存在最大值，
且最大值为，选B．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若向量与向量共线，则__________．
【答案】
【解析】因为向量与向量共线，
所以，．
14．若函数的最大值为3，则的最小正周期为__________．
【答案】
【解析】因为函数的最大值为，，，
因此的最小正周期为．
15．现有如下假设：
所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险．
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号）
①所有纺织工都投了健康保险②有些女工投了健康保险③有些女工没有投健康保险④工会的部分成员没有投健康保险
【答案】①②③
【解析】∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险
∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工
∴有些女工投了健康保险，故②正确；
∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险
∴有些女工没有投健康保险，故③正确；
∵所有工会成员都投了健康保险
∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误．
故答案为①②③．
16．若函数的最小值为，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】当时，，所以当时，；
当时，；此时
当时，，，．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】∵，，∴，
∴，∴，，
又，，
∴是首项为2公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知，，∴，
∴，
∴，∴，
即，，成等差数列．
18．（12分）根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：
降水量
工期延误天数
0
1
3
6
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示．
（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数，1，3，6的频率；
（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵的天数为10，∴的频率为；
∵的天数为6，∴的频率为；
∵的天数为2，∴的频率为；
∵的天数为2，∴的频率为．
（2）的分布列为
0
1
3
6
0.5
0.3
0.1
0.1
．
．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，．
（1）证明：平面；
（2）设二面角的正切值为，，，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
∵侧面为平行四边形，∴为的中点，
∴，又，∴，
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面，∴平面．
（2）解：过作于，连接，
则即为二面角的平面角．
∵，，∴．
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，．
∵，∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
20．（12分）已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为．
（1）求抛物线在点处的切线方程；
（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．证明：为定值，并求该定值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）依题意得，
∴．∵，∴，故的方程为．
由得，，∴，
又，∴所示切线的方程为，即．
（2）设（，且），则的横坐标为，．
由题可知，与联立可得，，
所以，
则为定值．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，，∴在上单调递减．
当时，令，得；令，得．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，令，得；令，得．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意．
当时，，不合题意．
当时，，在上单调递增，
∴，故满足题意．
当时，在上单调递减，在单调递增，
∴，故不满足题意．
综上，的取值范围为．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，点，直线过点且与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的值．
【答案】（1），；（2）8．
【解析】（1）由直线的参数方程消去，得的普通方程为，
由得，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）易得点在上，所以，所以，
所以的参数方程为，
代入中，得，
设，，所对应的参数分别为，，，
则，所以．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得．
综上，的解集为．
（2）由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值5．
所以当时，取得最小值5，
故，即的取值范围为．
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