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荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（模拟一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
(2) 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
(3) 已知双曲线（）的离心率为2，则的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
(4) 在检测一批相同规格共航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为
（A） （B） （C） （D）
(5) 要得到函数的图象，只需将函数的图象
（A）向左平移个周期 （B）向右平移个周期
（C）向左平移个周期 （D）向右平移个周期
(6) 已知则
（A） （B）
（B） （D）
(7) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则此几何体各面中直角三角形的个数是
（A）2 （B）3
（C）4 （D）5
(8) 执行右面的程序框图，如果输入的，
则输出的的值分别为
（A） （B） （C） （D）
(1) 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
(2) 已知，若，则
（A） （B） （C） （D）2
(3) 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是
（A） （B） （C） （D）
(4) 设函数，其中，若存在唯一负整数，使得则实数的取值范围
（A） （B） （C） （D）
本卷包括必考题和选考题两部分。第题为必考题，每个试题考生都必须做答。第题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(5) 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
(6) 平面向量，，若有，则实数 .
(7) 不等式组的解集记作，实数满足如下两个条件：①；②.则实数的取值范围为 .
(8) 已知数列，，满足且，，，则数列的前
项和为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(1) （本小题满分12分）的内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面积．
(2) （本小题满分12分）
等边三角形的边长为6，为三角形的重心，过点且与平行，将沿直线折起，使得平面平面
（1）求证： 平面；
（2）求点到平面的距离.
(3) （本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y (g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，求恰好取到2件优等品的概率；
（Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）
附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
(1) （本小题满分12分）
已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点.
（1）求点的坐标；
（2）若直线与抛物线交于、两点，的重心恰好为抛物线的焦点.求的面积.
(2) （本小题满分12分）
已知函数（，且为常数）
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．
请考生在第、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(3) （本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，其左焦点在直线上．
（Ⅰ）若直线与椭圆交于两点，求的值；
（Ⅱ）求椭圆的内接矩形周长的最大值．
(1) （本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知使不等式成立.
（Ⅰ）求满足条件的实数的集合；
（Ⅱ）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
文科数学参考答案
一、选择
1－5 BBABD 6-10 BCCDD 11-12 CD
二、填空
13. 14. 15. 16.
三、解答
17. (1) (2) 的面积为2
18.
19.解（I） 优等品
则6件产品有2件优等品的概率
II（1）由题意得
（2）由（1）得：
令
当时取最大 时，收益预报值最大.
21. 解：（1）
由 则或
设 当时单调递增
当时单调递减 极大 且时，，且恒成立
①当或时，方程 无实数根，函数只有一个极值
②当时，方程 根，此时中因式恒成立
函数只有一个极值
③当时，方程有2个根且在，单调递减，，单调递增，有三个极值点，
综合当或时，函数只有一个极值点.
（2）即令
则对都有成立
当时，在单调递增 取
时，这与矛盾
②当时，在单调递减
， 在单调递增在单调递减
若对都有成立，则只需
即 .
22. （1）由可得曲线的直角坐标系方程为，左焦点，代入直线的参数方程得。
直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得，所以。
（2）设椭圆的内接矩形的顶点为，，，（）。
所以椭圆的内接矩形的周长为。
当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值为。
23. 1），所以，所以的取值范围为，
（2）由（1）知，对，不等式恒成立，只需，所以，又因为，，所以，。
又（时，取等号，此时），所以。
所以，，所以，即的最小值为（此时）。
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