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荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（模拟一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
(2) 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
(3) 要得到函数的图象，只需将函数的图象
（A）向左平移个周期 （B）向右平移个周期
（C）向左平移个周期 （D）向右平移个周期
(4) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天空气质量为优良的概率是
（A） （B） （C） （D）
(5) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
(6) 等比数列的前项和为，下列结论一定成立的是
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
(7) 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值
（A）126 （B） 3.132 （C）3.151 （D） 3.162
(1) 函数的部分图像为
（A）（
（D）（
（C）（
（B）（
（A （B） （C） （D）
(2) 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
(3) 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是
（A） （B） （C） （D）
(4) 向量，，对，，则
（A） （B） （C） （D）
(5) 函数有三个零点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(6) 展开式中的常数项为 ．
(7) 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 .
(1) 不等式组的解集记作，实数满足如下两个条件：
①；②.
则实数的取值范围为 .
(2) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则__________．（用表示）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(3) （12分）
的内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面积．
(4) （12分）
（18题图）
如图，多面体中，面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
(1) （12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y (g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）
附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
(1) （12分）
已知椭圆的上顶点为，点，是上且不在轴上的点，直线与交于另一点.若的离心率为，的最大面积等于.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线分别与轴交于点，试判断是否为定值.
(2) （12分）
已知函数，．曲线与在原点处的切线相同.
（Ⅰ）求函数单调区间；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
请考生在第、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(3) （10分）选修：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．
(1) （10分）选修：不等式选讲
已知，
（Ⅰ）若 ，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时，的解集为空集，求的取值范围．
理科数学参考答案
一、 选择题 DBDAC CDDDA CD
二、 填空题 13、 4 14、 15、 16、
三、 解答题
17.（1） （2）的面积为2
18.（1）∵，，，由勾股定理得： -------1分
又正方形中，且
∴面 ---------------3分
∵面，∴平面平面 --------------4分
（2）解：由（Ⅰ）知是二面角的平面角 ----------5分
作于，则，
且由平面平面，平面平面，面得：
面 --------------6分
取中点，连结，则 -----------------7分
如图，建立空间直角坐标系，
则、、、
∴，的一个方向向量 ---8分
设面的一个法向量，
则，
取，得： -----------------9分
又面一个法向量为： ---------------10分
∴ ----------11分
设面与面所成二面角为，由为锐角得：
19.（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 ------------1分
现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数
， ，
， -------------3分
的分布列为
-----------------5分
（2）解：对（）两边取自然对数得，
令，得，且， -------------6分
（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
- --------------7分
，得，故 -----8分
所求y关于x的回归方程为 --------------9分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则
由优等品质量与尺寸的比，即 令，
当时，取最大值 - -------------12分
即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.
20 （1）由题意，可得的最大面积为，即.……①
又……② 2分
……③ 3分
联立①②③，解得，，
故的方程. 4分
（2）设直线的方程为，，. 5分
联立方程组消去，得， 6分
整理，得， 7分
由韦达定理，得， 8分
又直线的方程为，所以， 9分
直线的方程为，所以， 10分
所以 11分
，
即为定值 12分
21.（1），减区间，增区间 ……………………5分
（2） ……………………12分
22（1）解：（1）设，，
则由成等比数列，可得，………………………………1分
即，．………………………………2分
又满足，即，………………………………3分
∴，………………………………4分
化为直角坐标方程为．………………………………5分
（2）依题意可得，故，即直线倾斜角为，……………………6分
∴直线的参数方程为………………………………7分
代入圆的直角坐标方程，得，……………………8分
故，，………………………………9分
∴．………………………………10分
23．选修：不等式选讲
(1)当时，化为 ， …………1
所以解集为或． …………5分
(2) 由题意可知，即为时，恒成立． …………6分
当时，，得；…………8分
当时，，得，
综上，．…………10分
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