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2018届高考考前适应性试卷
理 科 数 学（三）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由中不等式变形得，解得，即，，故选B．
2．下列命题中，，为复数，则正确命题的个数是（ ）
①若，则； ②若，，，且，则；
③的充要条件是．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，在复数集中可得，对于①，若，则，错误，如，，故①错误；②中的复数不能比较大小，故②错误．③中，时也成立，故③错误．故选A．
3．设为等比数列的前项和，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据题意，在等比数列中有，解得或，则或．故选C．
4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，由体积公式易得．
故选A．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据诱导公式得到，
，
结合两式得到．故答案为：C．
6．已知函数，执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求
时的最小值，解得，，则输出的值是．故选C．
7．如图，在圆中，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
过点作交于点，连接，则为的中点，，
∴．又，，
，故选C．
8．实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，
∴，∴，综上，可得．故选A．
9．已知变量，满足约束条件，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由变量，满足约束条件，画出可行域如图所示，
则的几何意义是可行域内的点与连线的斜率不小于，由图形可知，直线与直线的交点为，直线与的交点为，∴的概率是，则的概率是．故选D．
10．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数满足：当时，恒成立，∴函数为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有，∴，恒成立恒成立，只要使得定义域内，由，得，即函数的周期，∵时，，求导得，该函数过点，，，如图，
且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为，，函数的周期是，∴当时，函数的最大值为，由，即，则，解得或
．故选D．
11．已知在三棱锥中，，，，，侧面
底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
取的中点，连接，过作平面，交于点，过作，交于点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，即，解得，，，，则，，设球心，则，∴，解得，∴三棱锥的外接球的半径，∴三棱锥外接球的表面积为．故选D．
12．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由平行于轴得，则，所以的面积
，又，则，，由焦半径公式，得，因此代入双曲线方程得，可得，，即．故选C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．命题“，”的否定是__________．
【答案】，．
【解析】命题“，”的否定是“，”．
即答案为，．
14．在中，角的平分线长为，角，，则__________．
【答案】．
【解析】设角的平分线为，由正弦定理得，即，得，，，，．即答案为．
15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且满足，点
为原点，则的面积为__________．
【答案】．
【解析】如图，
由题可得，，由，所以，又根据可得，即，即，可以求得，，所以点的坐标为或，，即答案为2．
16．已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】由题得．，．
∴．∵，∴，．
由得，即的图象与直线恰有两个交点，结合图象可知，即．故填．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，得，
当时，有，
所以，
即，所以时，，
所以是公比为，首项为的等比数列，
所以，当时，满足该通项公式，
故通项公式为．
（2），
．
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为平行四边形，，，，．
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）的长为；（2）二面角的余弦值为．
【解析】（1）如图，过点作于垂足．
∵平面平面，
∴平面．
过点在平面内作，交于点，
建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，
∵，，，，
∴，
∴，，，，，
∴．
（2）设平面的法向量，
而，，
由及可得，
，可取，
设平面的法向量，
，，
由得，
可取，
∴，
∴二面角的余弦值为．
19．（12分）从某工厂的一个车间抽取某种产品件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：
数据分组
频数
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；
（2）求这件产品尺寸的样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经过计算得，利用该正态分布，求．
附：①若随机变量服从正态分布，则，；②．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率．
（2）样本平均数．
（3）依题意，而，，取，
∴，
∴，
∴即为所求．
20．（12分）已知，为椭圆的左、右顶点，，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，则，又，，∴．
椭圆方程为．
（2）设，（不妨设），则直线方程，直线方程．
设，，
由得，则，
则，于是．
由，得，则，
则，于是，
．
设，则，
，
在递减，故．
21．（12分）已知函数，其中为常数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）对求导，得，．
①当，即时，
或时，，单调递增，
时，，单调递减；
②当时，即时，，在上单调递增；
③当时，即时，
或时，，单调递增，
时，，单调递减．
综上所述，当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减．
（2）∵，
∴在上的最大值等价于在上的最大值，
，记为，
∴，
由（1）可知时，在上单调递减，，
∴，从而在上单调递减，
∵，∴在上单调递增，
∴，
∴的最大值为．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为．
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，设，
则点到直线的距离，
当，即，时，，
故点到直线的距离的最小值为．
（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，
所以对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
所以，
又，所以．
故的取值范围为．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，．
，
①当时，恒成立，∴；
②当时，，即，即或．
综合可知：；
③当时，，则或，综合可知：．
由①②③可知：．
（2）当时，，的最大值为，
要使恒成立，故只需，
则，∴；
当时，，的最大值为，
要使恒成立，故只需，
∴，从而．
综上讨论可知：．
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