2019高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课后训练案巩固提升含解析新人教A版选修1_2.doc

习题课——推理与证明的综合问题 课后训练案巩固提升 ‎1.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算􀱇和􀱋如下:‎ 􀱇 a b c d a b c d a b c d b b b b c b c b d b b d ‎　‎ 􀱋 a b c a b c d a a a a a b c d a c c a 则d􀱋(a􀱇c)等于(　　)‎ A.a B.b ‎ C.c D.d 解析:由给出的定义可知d􀱋(a􀱇c)=d􀱋c=a.‎ 答案:A ‎2.设m是一个非负整数,m的个位数记作G(m),如G(2 017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论:①G(a-b)=G(a)-G(b);②∀a,b,c∈N,若a-b=10c,则有G(a)=G(b);③G(a·b·c)=G(G(a)·G(b)·G(c)),则正确结论的个数为(　　)‎ A.3 B.2‎ C.1 D.0‎ 解析:令a=12,b=8,则G(a-b)=G(a)-G(b),显然①错;令x,y,z为小于10的自然数,m,n,k为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由∀a,b,c∈N,若a-b=10c,可知x-y=0,即a与b的个位数相同,因此G(a)=G(b),②正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此③正确.‎ 答案:B ‎3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第45个“整数对”是(　　)‎ A.(1,9) B.(9,1) ‎ C.(1,10) D.(10,1)‎ 解析:因为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),…,(n,1)共有整数对1+2+3+…+n=个,当n=9时,共有45个整数对,所以第45个“整数对”是(9,1).‎ 答案:B ‎4.设a,b∈(0,+∞),a≠b,x,y∈(0,+∞),则,当且仅当时取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=的最小值为(　　)‎ A.169 B.121‎ - 3 -‎ C.25 D.16‎ 解析:f(x)==25,当且仅当,即x=时,f(x)取得最小值25.‎ 答案:C ‎5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是　　　　　. ‎ 解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.‎ 答案:丙 ‎6.若数列{an}满足an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2 016项的和为　　　. ‎ 解析:由“凸数列”的定义,可写出数列的前几项:b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,……故数列{bn}是周期为6的周期数列.又b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故S2 016=S336×6=0.‎ 答案:0‎ ‎7.对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合相对a0的“正弦方差”为　　　　　. ‎ 解析:由题意,得集合相对a0的“正弦方差”为ω=,‎ 即3ω=cos2a0+,‎ 所以6ω=2cos2a0+1-cos+1-cos,‎ 即6ω=2cos2a0+2-2coscos 2a0,‎ 所以6ω=2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是ω=.‎ 答案:‎ ‎8.阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题.‎ 已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:.‎ 证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,‎ 则f(x)=2x2-2x+.‎ ‎∵x∈R,f(x)≥0恒成立,‎ ‎∴Δ=4-8()≤0,∴.‎ ‎(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),请写出上述结论的推广形式;‎ - 3 -‎ ‎(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.‎ ‎(1)解:若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),‎ 则+…+(n∈N*).‎ ‎(2)证明:构造函数g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,‎ 则g(x)=nx2-2x++…+.‎ ‎∵x∈R,g(x)≥0恒成立,‎ ‎∴Δ=4-4n(+…+)≤0,‎ ‎∴+…+(n∈N*).‎ ‎9.点M在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为x+y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R在圆C的内部,直线x+y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论.‎ 解:点P(a,b)在☉C':x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与☉C'相切;‎ 点P在☉C'内部时,直线ax+by=r2与☉C'相离;‎ 点P在☉C'外部时,直线ax+by=r2与☉C'相交.‎ 证明如下:圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离为d= .‎ 若(a,b)在圆内,则a2+b2r,所以直线与圆相离;‎ 若(a,b)在圆上,则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切;‎ 若(a,b)在圆外,则a2+b2>r2,所以dd,a>-2d,d≠0).‎ 假设存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列,‎ 则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.‎ 令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,‎ 化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.‎ 将t2=t+1代入(*)式,‎ 得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.‎ 显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,‎ 因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列.‎ - 3 -‎