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2018届四省名校高三第三次大联考
理数
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
3.设集合则（ ）
A． B． C． D．
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）
A． B． C. D．
5.对任意实数有若则（ ）
A． B． C. D．
6.双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是
的两部分，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C. D
7.阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8.设，则（ ）
A． B． C. D．
9.设函数为的导函数，若函数的图像关于远点对称，则（ ）
A. B． C. D．
10.近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（ ）
参考数据与参考公式:
其中
A． 月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数
B． 所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人
C． 样本数据的中位数约为1750元
D． 在犯错的概率不超过的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关
11. 如图，已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相交于不同两点,且链接并延长交准线于点，记与的面积分别为则( )
A． B． C. D．
12.设函数为自然数），有下列命题：
①有极小值
②使得不等式为的导函数）成立，
③若关于的方程无解，则的取值范围为
④记，若在上有三个不同的极值点，则的取值范围为
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若变量满足约束条件则的最小值为 ．
14.设为等比数列， 为其前项和，若，则 ．
15.已知直线三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）各项点都在同一球面上，且,,若此球的表面积等于，则 ．
16.如图，在中，已知为上一点，且满足若的面积为，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）在中，若求的面积，
18.在如图所示的几何体中，平面为等腰梯形，
(1)证明：
(2)当二面角的余弦值为时，求线段的长，
19. 2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竟猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竟猜.
(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率;
(2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为,男球迷选择德国队的概率为，记为三人中选择德国队的人数,求的分布列和数学期望.
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点过直线左侧的动点作于点的角平分线交轴于点,且记动点的轨迹为曲线
（1） 求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，点在上，且轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.
21. 设函数
（1） 当时，求的单调区间；
（2） 若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小，并说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中.曲线的极坐标方程为点的极坐标为以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴.建立平面直角坐标系，
(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标;
(2)过点的直线与曲线相交于两点.若,求的值.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，解不等式
（2）若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围，
2018届四省名校高三第三次大联考理数参考答案
一、选择题
1-5:BCBAB 6-10:CACDD 11、12：CC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17，解：(1)
当，即时，取得最大值3；
当即时，取得最小值，故的值域为.
（1） 设中所对的边分别为
即
得
又即即
由正弦定理得解得
18.解：（1）由题知平面,
平面,
过点作于点，在中，得
在中，
且
平面
又平面
(2) 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设
则
设为平面的一个法向量，
则
令得
同理可求得平面的一个法向量
化简得，
解得或，
二面角为锐二面角，经验证舍去，
作于点，则为中点，
.
19.解: (1)设恰好有两支球队被人选择为事件.由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有种不同选择.
每种选择可能性相等.故恰好有两支球队被人选择有种不同选择，
所以
(2)由题知且
的分布列为
P
20.解：（1）设由题可知
所以
即化简整理得
即曲线的方程为
(2)法一：由椭圆对称性知，直线经过轴上一定点，记为点,
当直线的斜率不存在时，得
下证明直线恒过点
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为
由
得恒成立，
记则
由得
直线的斜率分别为
即即三点共线，
直线经过定点
法二：由已知可得直线的斜率不为，可设直线的方程为
联立方程组消去
得恒成立，记则
则
直线的斜率为直线的方程为
即
又
直线的方程为
直线过定点
21.解：（1）当时，
设
则当时，单调递减，
当时，单调递增，
在区间上单调递增，无单调递减区间.
（2） 由（1）可知在区间上单调递增，
则即在区间上单调递增，且
①当时，在区间上单调递增，
满足条件.
②当时，设则
在区间上单调递增，且
使得
当时，单调递增，即时，不满足题意，
综上所述，实数的取值范围为
（2） 由（2）可知，取
当时，即
当时，
又
当时，
当时，
当时，.
.
22.解：（1）即
由有
曲线的直角坐标方程为
点的直角坐标为
（2） 设直线的参数方程时为参数），
将其代入可得
记为方程的两根，
由得或
当时，或
当时，同理
23.解：（1）当时，
或
或
解得
即不等式解集为
(2)
当且仅当时，取等号，
的值域为
又在区间上单调递增.
即的值域为要满足条件，必有
解得
的取值范围为
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