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太原市2018年高三年级模拟试题（三）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若，则的值为（ ）
A． 3 B．5 C． D．
3. “”是“”恒成立的（ ）
A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4. 若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C. D．
5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．21 B． 22 C. 23 D．24
6. 已知展开式中的系数为0，则正实数（ ）
A．1 B． C. D．2
7. 已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C. D．
8. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C. 3 D．4
9. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A． B．8 C. 16 D．
10. 已知函数的图象过点，且在
上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ）
A． B． -1 C. 1 D．
11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
12. 设函数满足，则时，的最小值为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.由曲线与直线所围成的图形的面积是 ．
14.已知双曲线的实轴长为16，左焦点为是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 种（用数字作答）.
16.已知数列与满足，且，则 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.
（1）求角；
（2）当的值最小时，求的面积.
18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
投保类型
浮动因素
浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故
上浮10%
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量
20
10
10
20
15
5
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；
（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；
②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.
20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.
（1）求的值；
（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知函数的最大值为.
（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；
（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 120 16.
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理得，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）
由余弦定理得，
由题意可知的内切圆半径为1，
如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，
可得，
则，
于是，
化简得，
所以或，
又，所以，即，
当且仅当时，的最小值为6，
此时三角形的面积.
18.解：（1）在梯形中，∵，
∴，
又∵，∴，
∴，∴， 即.
∵平面，平面，
∴，而，
∴平面，
∵，∴平面；
（2）
建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
∴，
设为平面的一个法向量，
由得，
取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
19.解：（1）由题意可知的可能取值为，由统计数据可知：
，
所以的分布列为
（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.
所以的分布列为：
-4000
8000
所以，
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.
20.解：（1）由已知得，则，
故椭圆的方程为；
设直线的方程为，
由，得，
则，
由已知，
则，即，
所以；
（2）假设存在直线满足题设条件，且设，
由，得，
代入椭圆方程得：，
即，
则，即，
则，
所以，
化简得：，而，则，
此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.
21.解：（1），由，
得；由，得；
所以，的增区间为，减区间为，
所以，
不妨设，∴，
∴，
∴，∴，∴，
设，则，
所以，在上单调递增，，则，
因，故，所以；
（2）由（1）可知，在区间单调递增，又时，，
易知，在递增，，
∴，且时，；时，，
当时，，
于是时，，
所以，若证明，则证明，
记，
则，∵，∴，
∴在内单调递增，∴，
∵，
∴在内单调递增，
∴，于是时，
22.解：（1）圆的参数方程为，（为参数），
∴圆的普通方程为；
（2）化圆的普通方程为极坐标方程，
设，则由解得，
设，则由，解得，
∴.
23.解：（1）∵函数，
故函数的最小值为3，
此时；
（2）当不等式的解集为，函数恒成立，
即的图象恒位于直线的上方，
函数，
而函数表示过点，斜率为的一条直线，
如图所示：当直线过点时，，
∴，
当直线过点时，，∴，
数形结合可得的取值范围为.
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