2019年高三年级第二次诊断性测试
理科数学（问卷）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．
【详解】，
则，故选B．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.
2.设是虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算以及的运算性质化简求值即可．
【详解】，故选A.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题
3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )
A. 0 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．
【详解】由题意作出其平面区域，
令，化为，相当于直线的纵截距，
由图可知，，解得，，
则的最大值是，故选C．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.执行如图所示程序框图的输出结果是（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，，
满足条件，执行循环体，，，
此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.
【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；
若，，有可能在面内，故B错误；
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．
若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.
6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．
【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，
∴，∴，，
则，故选B．
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不难发现从而可得
【详解】,故选B.
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．
8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．
【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
，解得，，
所以所求椭圆方程为：，故选C．
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
9.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．
【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．
【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.
10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果．
【详解】函数的最小正周期为，
解得：，所以，
由于，故：时，取最大值．
故：，解得：，即，
由于，故的最小值为，故选D．
【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）
A. 点到的距离为
B. 三棱锥的体积是
C. 与平面所成的角是
D. 与所成的角是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．
【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，
对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，
则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；
对于B，三棱锥的体积是，故B错误；
对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，
故C错误；
对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，
故选：D
【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.
【答案】150
【解析】
【分析】
由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.
【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．
故答案为：150．
【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．
14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．
【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，
，解得，则，
所以所求的双曲线方程为：，
故答案为．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.
15.已知，，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tanA变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．
【详解】解：∵∈（，），
∴∈（，π），
∵sin（），
∴cos（），
∴tan（）＝，
则tanA＝tan[（）]．
故答案为：
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f（x）的最大值为．
【详解】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，
当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，
∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．
当点A，B分别位于分段函数的两支上，
且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，
设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），
∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，
∵•的最小值为0，∴⊥，
∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，
∴a＝1，∴f（x）max．
故答案为：
【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角的对边分别为，已知，，
(1)若，求；
(2)求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得 ，结合二次函数的性质即可得结果.
【详解】（1）∵，，∴，∴，
∴，∴；
（2） ，
当时，的面积有最大值.
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.
（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求二面角余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；
（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.
【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.
∴平面平面，∴平面；
（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，不妨设，则，
得，，，，
得，.
设平面的法向量为，则，得，
同理可得平面的法向量为，
∴，∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．
19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：
学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.
（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大？
（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师教学绩效考核成绩的期望值，比较即可；
（Ⅱ）可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：
43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，
其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.
∴王老师的教学绩效考核成绩的分布列为：
-1
1
2
；
第二学期的数据为：
44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，
其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，
∴赵老师的教学绩效考核成绩的分布列为：
-1
1
2
，
∴，所以，王老师的教学绩效考核成绩的期望值较大；
（Ⅱ）由题意得：
第一学期
第二学期
合计
优秀
8
5
13
非优秀
17
20
37
合计
25
25
50
，
∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.
【点睛】本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．
20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积．
【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：；
（Ⅱ）由，可设：，与联立得：，
设，，则，∴，
由，，∴，，∴：，
即，与联立得，
∴，
∴点到直线的距离，
∴，
∴当（即轴），取最小值16.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
21.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；
（Ⅱ） ，构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.
【详解】（Ⅰ），，，
令，，
①当，即时，恒成立，∴，
∴在上单调递增；
②当，即或时，
有两个实数根，，
若，则，∴，
∴当时，，；当时，，，
∴上单调递减；在上单调递增，
若，则，∴，
当或时，，；
当时，，，
∴在，上单调递增；在上单调递减；
（Ⅱ） ，
令，由，，得，，∴，
∴ 或（舍去），
∴ ，
令，，，
∴在上单调递减，
∴，且当时，，也取得最小值，
∴
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；
(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.
【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．
【详解】（Ⅰ）直线： ，
即，斜率，倾斜角，
∵点满足此方程，∴点在直线上；
（Ⅱ）曲线的普通方程为①，
直线的参数方程为（为参数）②，
把②代入①得，得，，
又∵，，且与异号，
∴ .
【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.
23.已知函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若函数的最大值是3，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）代入，值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
【详解】（Ⅰ）∵当，时，，
∴的解集为；
（Ⅱ）∵，，
，
∴，∴ ，
当且仅当，即，时，等号成立.
故的最小值为.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
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