2018年全国统考数学理科临考冲刺试卷(一)有解析
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资料简介
www.ks5u.com 普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)‎ 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 为虚数单位,则复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎2.已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,所以,选C.‎ ‎3.如图,四边形是边长为2的正方形,曲线段所在的曲线方程为 ‎,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件可知,,阴影部分的面积为,‎ 所以,豆子落在阴影部分的概率为.故选A.‎ ‎4.在中,角,,所对应的边分别为,,.若角,,依次成等差数列,且,.则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,,依次成等差数列,∴,∴由余弦定理得:,得:,∴由正弦定理得:,故选C.‎ ‎5.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A.7 B.‎6 ‎C.5 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体如图,则体积为,选B.‎ ‎6.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的最大值是( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则=,‎ 又由在区间上单调递增,则在上递减,‎ 则,‎ 则有,解可得,即的最大值是,故选D.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)表示的区域面积等于1,则抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得,,,即准线方程为,选D.‎ ‎8.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则 的系数为( )‎ A.50 B.‎70 ‎C.90 D.120‎ ‎【答案】C ‎【解析】在中,令得,即展开式中各项系数和为;又展开式中的二项式系数和为.由题意得,解得.‎ 故二项式为,其展开式的通项为,.令得.所以的系数为.选C.‎ ‎9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中的单位为钱,则输出的,分别为此题中好、坏田的亩数的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设好田为,坏田为,则,,‎ A中;B中正确;C中,;D中,所以选B.‎ ‎10.已知函数,若集合含有4个元素,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得,,,解得:或,‎ 所以或,‎ 设直线与在上从左到右的第四个交点为A,第五个交点为B,则,.‎ 由于方程在上有且只有四个实数根,‎ 则,即,解得,故选D.‎ ‎11.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为2的等边三角形,若球的体积为,则直线与平面所成角的正切值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由球体积知球半径为,设的外心为,由正弦定理得,由得,设的中点为,则平面,连接,则为直线与平面所成的角,,,,故选A.‎ ‎12.设为双曲线上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,,若的外接圆半径是其内切圆半径的倍,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.2或3 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】∵,分别为双曲线的左、右焦点,‎ ‎∴,,∵,‎ ‎∴点在双曲线的右支,的内切圆半径为.‎ 设,则.∵,即,‎ ‎∴,即的外接圆半径为.‎ ‎∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍,‎ ‎∴,即.∴‎ ‎∴或,故选D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知,,,若与平行,则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】已知,,若与平行则,故答案为:-3.‎ ‎14.已知点,若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将圆化简成标准方程,‎ 圆心,半径,因为,,所以,‎ 要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为.‎ ‎15. _____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,故答案为.‎ ‎16.记表示实数,,的平均数,表示实数,,‎ 的最大值,设,,若,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】作出的图象如图所示 由题意,故,,‎ 当时,,得,‎ 当时,,得,舍去,‎ 当时,,得,舍去,‎ 当时,,恒成立,‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:60分,每个试题12分.‎ ‎17.已知数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,记数列的前项和为,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】(I)当时,有,解得.……1分 当时,有,则 ‎,……3分 整理得:,……4分 数列是以为公比,以为首项的等比数列.……5分 ‎,‎ 即数列的通项公式为:.……6分 ‎(2)由(1)有,……7分 则,……8分 ‎……10分 ‎,故得证.……12分 ‎18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和,制成下图,其中“”表示甲村贫困户,“”表示乙村贫困户.‎ 若,则认定该户为“绝对贫困户”,若,则认定该户为“相对贫困户”,若,则认定该户为“低收入户”;‎ 若,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.‎ ‎(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;‎ ‎(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布列和数学期望;‎ ‎(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).‎ ‎【答案】(1)0.1;(2)见解析;(3)见解析.‎ ‎【解析】(1)由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,……1分 所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为.……3分 ‎(2)由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意,……4分 的可能值为0,1,2,3.从而……5分 ‎,……6分 ‎,……7分 ‎,……8分 ‎.……9分 所以的分布列为:‎ 故的数学期望.……10分 ‎(3)这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.……12分 ‎19.如图,在直三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,‎ 为的中点,侧棱,点在上,点在上,且,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)∵是等边三角形,为的中点,‎ ‎∴,∴平面,得.①……2分 在侧面中,‎ ‎,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,∴.②……4分 结合①②,又∵,∴平面,……5分 又∵平面,∴平面平面,……6分 ‎(2)如图建立空间直角坐标系.‎ 则,,.‎ 得,,,……7分 设平面的法向量,则,‎ 即得取.……9分 同理可得,平面的法向量,……10分 ‎∴,……11分 则二面角的余弦值为.……12分 ‎20.已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在求出坐标;若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)设动点,则,,‎ ‎,即.……3分 化简得:,……4分 由已知,故曲线的方程为.……5分 ‎(2)由已知直线过点,‎ 设的方程为,则联立方程组,‎ 消去得,‎ 设,,则,……7分 直线与斜率分别为,,‎ ‎.……10分 当时,;‎ 当时,.‎ 所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值.……12分 ‎21.设,已知函数,.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)试判断函数在上是否有两个零点,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)函数没有两个零点.‎ ‎【解析】(1),……1分 ‎,‎ ‎,‎ 设,则,‎ ‎①当时,,,即,‎ ‎∴在上单调递增;……3分 ‎②当时,,‎ 由得,‎ ‎,‎ 可知,由的图象得:‎ 在和上单调递增;‎ 在上单调递减.……5分 ‎(2)假设函数有两个零点,由(1)知,,‎ 因为,则,即,‎ 由知,所以,‎ 设,则(*),……8分 由,得,‎ 设,得,‎ 所以在递增,得,即,……11分 这与(*)式矛盾,所以上假设不成立,即函数没有两个零点.…12分 ‎(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分)‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数,),以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求已知曲线和曲线交于,两点,且,求实数的值.‎ ‎【答案】(1),;(2)或.‎ ‎【解析】(1)的参数方程,消参得普通方程为,……2分 的极坐标方程为两边同乘得即;……5分 ‎(2)将曲线的参数方程(为参数,)代入曲线,得,……6分 由,得,……7分 设,对应的参数为,,由题意得即或,…8分 当时,,解得,……9分 当时,解得,‎ 综上:或.……10分 ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知,使不等式成立.‎ ‎(1)求满足条件的实数的集合;‎ ‎(2)若,对,不等式恒成立,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)18.‎ ‎【解析】(1)令,……2分 则,……4分 由于使不等式成立,有.……5分 ‎(2)由(1)知,,‎ 根据基本不等式,‎ 从而,当且仅当时取等号,……7分 再根据基本不等式,当且仅当时取等号.‎ 所以的最小值为6.……10分

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