普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷（一）理科数学Word版含解析.doc

www.ks5u.com 普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． 为虚数单位，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，所以，选C．‎ ‎3．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为 ‎，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，‎ 所以，豆子落在阴影部分的概率为．故选A．‎ ‎4．在中，角，，所对应的边分别为，，．若角，，依次成等差数列，且，．则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，依次成等差数列，∴，∴由余弦定理得：，得：，∴由正弦定理得：，故选C．‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．7 B．‎6 ‎C．5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体如图，则体积为，选Ｂ．‎ ‎6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则=，‎ 又由在区间上单调递增，则在上递减，‎ 则，‎ 则有，解可得，即的最大值是，故选D．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，，，即准线方程为，选D．‎ ‎8．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则 的系数为（ ）‎ A．50 B．‎70 ‎C．90 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．‎ 故二项式为，其展开式的通项为，．令得．所以的系数为．选C．‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设好田为，坏田为，则，，‎ A中；B中正确；C中，；D中，所以选B．‎ ‎10．已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得，，，解得：或，‎ 所以或，‎ 设直线与在上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则，．‎ 由于方程在上有且只有四个实数根，‎ 则，即，解得，故选D．‎ ‎11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由球体积知球半径为，设的外心为，由正弦定理得，由得，设的中点为，则平面，连接，则为直线与平面所成的角，，，，故选A．‎ ‎12．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2或3 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】∵，分别为双曲线的左、右焦点，‎ ‎∴，，∵，‎ ‎∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为．‎ 设，则．∵，即，‎ ‎∴，即的外接圆半径为．‎ ‎∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍，‎ ‎∴，即．∴‎ ‎∴或，故选D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知，，，若与平行，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】已知，，若与平行则，故答案为：-3．‎ ‎14．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将圆化简成标准方程，‎ 圆心，半径，因为，，所以，‎ 要求面积最小值，即要使圆上的动点到直线的距离最小，而圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故答案为．‎ ‎15． _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，故答案为．‎ ‎16．记表示实数，，的平均数，表示实数，，‎ 的最大值，设，，若，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】作出的图象如图所示 由题意，故，，‎ 当时，，得，‎ 当时，，得，舍去，‎ 当时，，得，舍去，‎ 当时，，恒成立，‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．已知数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（I）当时，有，解得．……1分 当时，有，则 ‎，……3分 整理得：，……4分 数列是以为公比，以为首项的等比数列．……5分 ‎，‎ 即数列的通项公式为：．……6分 ‎（2）由（1）有，……7分 则，……8分 ‎……10分 ‎，故得证．……12分 ‎18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．‎ 若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；‎ 若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．‎ ‎（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；‎ ‎（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）．‎ ‎【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为．……3分 ‎（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分 的可能值为0，1，2，3．从而……5分 ‎，……6分 ‎，……7分 ‎，……8分 ‎．……9分 所以的分布列为：‎ 故的数学期望．……10分 ‎（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差．……12分 ‎19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，‎ 为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵是等边三角形，为的中点，‎ ‎∴，∴平面，得．①……2分 在侧面中，‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴．②……4分 结合①②，又∵，∴平面，……5分 又∵平面，∴平面平面，……6分 ‎（2）如图建立空间直角坐标系．‎ 则，，．‎ 得，，，……7分 设平面的法向量，则，‎ 即得取．……9分 同理可得，平面的法向量，……10分 ‎∴，……11分 则二面角的余弦值为．……12分 ‎20．已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设动点，则，，‎ ‎，即．……3分 化简得：，……4分 由已知，故曲线的方程为．……5分 ‎（2）由已知直线过点，‎ 设的方程为，则联立方程组，‎ 消去得，‎ 设，，则，……7分 直线与斜率分别为，，‎ ‎．……10分 当时，；‎ 当时，．‎ 所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．……12分 ‎21．设，已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）函数没有两个零点．‎ ‎【解析】（1），……1分 ‎，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎①当时，，，即，‎ ‎∴在上单调递增；……3分 ‎②当时，，‎ 由得，‎ ‎，‎ 可知，由的图象得：‎ 在和上单调递增；‎ 在上单调递减．……5分 ‎（2）假设函数有两个零点，由（1）知，，‎ 因为，则，即，‎ 由知，所以，‎ 设，则（＊），……8分 由，得，‎ 设，得，‎ 所以在递增，得，即，……11分 这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数没有两个零点．…12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）或．‎ ‎【解析】（1）的参数方程，消参得普通方程为，……2分 的极坐标方程为两边同乘得即；……5分 ‎（2）将曲线的参数方程（为参数，）代入曲线，得，……6分 由，得，……7分 设，对应的参数为，，由题意得即或，…8分 当时，，解得，……9分 当时，解得，‎ 综上：或．……10分 ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，使不等式成立．‎ ‎（1）求满足条件的实数的集合；‎ ‎（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）18．‎ ‎【解析】（1）令，……2分 则，……4分 由于使不等式成立，有．……5分 ‎（2）由（1）知，，‎ 根据基本不等式，‎ 从而，当且仅当时取等号，……7分 再根据基本不等式，当且仅当时取等号．‎ 所以的最小值为6．……10分