拉萨市2019届高三第二次模拟考试试卷
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数的性质，求出集合A，然后进行交集的运算，即可得到答案.
【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，以及对数的运算性质，其中解答中熟记对数的运算性质，准确求解集合A是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.已知a为实数，若复数为纯虚数，则
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．
【详解】，
复数是纯虚数，
且，
得且，
即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决
本题的关键．
3.在普通高中新课程改革中，某地实施“”选课方案。该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门。假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.
【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中}，包含1个基本事件，
则，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4.，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．
【详解】己知，，，
．
设，夹角，又，
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
5.等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 82 B. 97 C. 100 D. 115
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出公差，再根据等差数列的求和公式，求得，即可求解，得到答案.
【详解】因为等差数列的前n项和为，且，所以，解得，
又由，所以，解得，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6.将函数的图像向右平移个单位长度后,所得图像的一个对称中心为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2xkπ，求得结论．
【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y＝sin（2x），
令2xkπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式，计算可得所求值．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，可得，
则双曲线的离心率为．
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较，即可得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，
可得，所以，
又由，所以，
又由，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数函数与幂函数的单调性的应用，其中解答中合理应用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，进行模拟运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，模拟程序框图，可得：
，满足判断条件；
，满足判断条件；
，满足判断条件，
，不满足判断条件，
输出结果，故选B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的识别与计算结果的输出问题，其中解答中利用模拟程序的运算，逐次求解判断是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10.在正方体中，点，分别是棱，的中点，则直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与所成角的大小．
【详解】
连接，在正方形中，，故得到三角形 ，
故得到，，所以
故得到直线CE与所成角为.
故选：D．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
11.设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由为直角三角形，得，可得，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.
【详解】如图所示，因为直角三角形，所以，
所以，则，解得，故选B
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题函数的定义域为R，且 即函数为及奇函数，且 在上恒成立，即函数函数 在上单调递增，若，使得成立，即
则问题转化为 ，即在上
得最小值为-1 ，故实数的取值范围是 .
故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定函数的最优解，解求解目标函数的最大值，得到答案。
【详解】由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为直线，
当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由，解得，
所以目标函数的最大值为。
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
14.已知函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由的值分析可得，变形可得，则有则，代入计算可得答案．
【详解】函数，若，
则，变形可得，
则；
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．
15.已知以点为圆心的圆C与直线相切，则圆C的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得，结合圆的标准方程分析可得答案．
【详解】根据题意，设圆C的半径为r，
以点为圆心的圆C与直线相切，则圆心到直线的距离为半径，则有，
则圆C方程为；
故答案为：．
【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，根据两角和的正弦函数公式可求的
值，即可利用三角形的面积公式计算得解．
【详解】，，，
由正弦定理，可得：，可得：，
可得：，可得：，
可得：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.已知是等差数列，且，．
求数列的通项公式
若，，是等比数列的前3项，求k的值及数列的前n项和．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
直接利用已知条件求出数列通项公式;利用等比数列的性质得到公比以及数列的通项，进而求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
【详解】数列是等差数列，设公差为d，且，．
则：，
解得：
所以：．
若，，是等比数列的前3项，
则：，根据等差数列的通项公式得到：，
代入上式解得：；，，是等比数列的前3项，
所以：等比数列的公比为．
由等比数列的通项公式得到：．
则，
故：，
，
．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
18.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；
学时数
男性
18
12
9
9
6
4
2
女性
2
4
8
2
7
13
4
根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位；
从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽
取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．
将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
非十分爱好该课程者
十分爱好该课程者
合计
男性
女性
合计
100
附：，
【答案】（1）平均值为．（2）（3）见解析
【解析】
【分析】
根据平均数的公式进行计算即可;利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;完成列联表，计算的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．
【详解】由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为
；
所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为．
设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，
依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为，，
的女性客户中抽取1人设为，2人设为A，
4人，设为，，，，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：
aA，aB，，，，，AB，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
其中事件A所包含的基本事件为：，，，，，，共6个，
则事件A发生的概率．
依题意得列联表如下
非十分爱好该课程者
十分爱好该课程者
合计
男性
48
12
60
女性
16
24
40
合计
64
36
100
则．
故有的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键考查学生的计算能力．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
19.如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面平面BDP；
若，，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
证明，，得出平面PBD，从而证明平面平面BDP；利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算的面积和AC的值，即可求得三棱锥的体积．
【详解】证明：如图所示，
因为是等边三角形，，
所以≌，可得，
又因为点P是AC的中点，则，，
又，平面PBD，平面PBD，
所以平面平面BDP；
设，在中，，则；
在等边中，，
在等腰中，；
在中，由，得；
由余弦定理得，
即，解得；
所以的面积为，
所以三棱锥的体积为．
【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直.
20.已知椭圆：的一个焦点为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
先求出c的值，再根据，又，即可得到椭圆的方程;假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段AB的中点为，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据，，即可求出m的值，可得点M的坐标
【详解】由题意可得，点在C上，
，
又，
解得，，
椭圆C的方程为，
假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
设，，线段AB的中点为，
由，消去y可得，
，解得，
，，
，，
，
依题意有，，
由，可得，可得，
由可得，
，，
代入上式化简可得，
则，
解得，
当时，点满足题意，当时，点满足题意
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.已知函数，，其中．
讨论函数与的图象的交点个数；
若函数与的图象无交点，设直线与的数和的图象分别交于点P，证明：．
【答案】（1）见解析（2）见证明
【解析】
【分析】
原问题等价于求解方程根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；由可知，当函数与的图象无交点时，，据此构造函数证明题中的不等式即可．
【详解】函数与的图象交点个数即方程根的个数，
设，．
则在上单调递增，且．
当时，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增．
所以，当时，．
当，即时，函数无零点，即函数与的图象无交点；
当时，函数有一个零点，即函数与的图象有一个交点；
当时，又．
，所以在和上分别有一个零点．
所以，当时，有两个零点，即函数与的图象有两个交点．
综上所述：当时，函数与的图象的交点个数为0；
当时，函数与的图象的交点个数为1；
当时，函数与的图象的交点个数为2．
由可知，当函数与的图象无交点时，．
设，，由得，由得，
．
设，
先证明不等式，再证明，．
设则．
当时，，上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即．
设则．
当时，，单调递减：
当时，，单调递增．
所以，即．
所以．
因为时，中等号成立，时，中等号成立，
而，所以等号不能同时成立．
所以．
所以．
【点睛】本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有两个不同交点，求的取值范围.
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平方关系消去参数即可得到曲线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）解法1：根据直线的斜率公式，求得直线的斜率的取值范围，进而取得实数的取值范围.解法2：利用方程组，转化为方程在上有两个不相等实根，借助二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：曲线的普通方程为，
把，代入，得
直线的直角坐标方程为，即.
（2）解法1：由直线：，知直线恒过点.
由，当时，得，
所以曲线过点，.
则直线的斜率为，
直线的斜率为.
因为直线的斜率为，且直线与曲线有两个不同交点，
所以，即.
所以的取值范围为.
解法2：由，消去得，
依题意，得在上有两个不相等实根.
设，
则，
解得.
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线的斜率公式的应用或转化为一元二次方程的根的分布是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，不等式对都成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；
（2）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】解：函数，
即为，
可得，
即，解得，
则原不等式的解集为；
若，不等式对都成立，
即有，
由
，
可得的最大值为，，
则，解得．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．
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