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南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试
数学（文）试卷
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为
4. 函数的图象大致是（ ）
5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008
6 ．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 在斜二测画法中，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为
A． B． C． D．
9.在中，，分别为的重心和外心，，则的形状是
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
10．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为
A. B. 40
C. D.
11．已知为双曲线的左、右焦点，为上异于顶点的点，直线分别与以为直径的圆相切于两点，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知是函数的导函数 且对任意实数都有为自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量且//，则实数k等于 .
14．设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是 ．
15．在三棱锥中，两两垂直，其外接球的半径为，则该三棱锥三个侧面面积之和的最大值是__________．
16．在中，角的对边分别为，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知等差数列中,公差, ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）在边长为的正方形中，分别为的中点，
分别为的中点，现沿折叠，使三点重合于，构成一个三棱锥(如图所示)．
（Ⅰ）在三棱锥上标注出点，并判别与平面的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）是线段上一点，且,问是否存在点使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求多面体的体积．
19（本小题满分12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据。对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图（共21个数据点）及一些统计量的值。为了进一步了解广告投入量x对收益y的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：
表中 ，参考数据：.
（1）根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述x与y之间的关系？简要说明理由.
(2)根据据(1)的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益y 关于投入量x的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型（即更适宜作为收益y关于投入量x的回归方程）？说明理由：
附：对于一组数据，……，，其中回归直线的斜率，截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：
，，
其中r越接近于是，说明变量x与y的线性相关程度越好.
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上位于第一象限的任一点，直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率分别为．求证：为定值．
21. （本小题满分12分）已知，.
(1)对一切，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对一切，恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，设直线，曲线，在以为极点、正半轴为极轴的极坐标系中:
(1) 求和的极坐标方程:
(2) 设曲线.曲线,分别与交于两点，若的中点在直线上，求.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，.
(1)解不等式；
(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.
南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试
数学（文）试卷参考答案
一、选择题
1-5 BACDB 6-10 AABBD 11-12 BC
二、填空题
13． 14．
15． 8 16． .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知等差数列中,公差, ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数
的取值范围.
解:(1)由题意可得，即
又∵，∴，∴.
（2）∵，
∴，
∵，使得成立成立，
∴，使得成立，
即，使得成立，
又（当且仅当时取等号），
∴，即实数的取值范围是.
18．在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合于，构成一个三棱锥(如图所示)．
（Ⅰ）在三棱锥上标注出点，并判别与平面的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）是线段上一点，且,问是否存在点使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求多面体的体积．
【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）
试题解析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线，如图所示.
A
F
B
E
N
M
则 2分
证明如下：． 4分
（Ⅱ）存在点使得，此时
因为面EBF
又是线段上一点，且,
∴ 当点与点B重合时，此时 8分
（Ⅲ）因为
且，
∴， 9分
又
12分
19
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上位于第一象限的任一点，直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率分别为．求证：为定值．
（第20题）
20解．（1）因为椭圆的上顶点为，离心率为，
所以 …………………………………………………2分
又，得，
所以椭圆的标准方程是；…………………………………………………4分
（2）根据题意，可得直线，直线，
由，解得 . ……………………………………6分
由得，化简得，
因为，所以，所以，
将代入直线方程得：，
所以. ……………………………………………8分
又因为，所以，
所以直线，令得，.………………10分
于是，
所以，为定值．…………………………………………12分
21.已知，.
(1)对一切，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对一切，恒成立.
[解] (1)由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，
则a≤2lnx＋x＋，
设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
①当x∈(0，1)时，h′(x)0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
即实数a的取值范围是(－∞，4].
(2)证明：问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞)).
又f(x)＝xlnx，f ′(x)＝lnx＋1，
当x∈时，f ′(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f＝－.
设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，
则m′(x)＝，
易知m(x)max＝m(1)＝－，
从而对一切x∈(0，＋∞)，lnx>－恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，设直线，曲线，在以为极点、正半轴为极轴的极坐标系中:
(1) 求和的极坐标方程:
(2) 设曲线.曲线,分别与交于两点，若的中点在直线上，求.
【答案】（1），；（2）
【解析】分析：（1）先把的参数方程化为直角方程，再把直角方程化为极坐标方程；
（2）因为共线，从而，因此中点的极坐标为，代入直线的极坐标方程后可求出的三角函数值，从而求得的长.
详解：(1) 消去可得，即，
化为极坐标：，
消去可得，化为极坐标：.
(2) 中点的极径为，
将代入2中，
化简得：，故，
故，，
.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，.
(1)解不等式；
(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．
故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．
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