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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(四)
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，，，，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故．
3
．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令圆的半径为1，则，故选C．
4．函数，的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除A，B，∵时，，故选C．
5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．
由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，
可得底面三角形外接圆的半径为，
由棱柱高为4，可得，
故外接球半径为，
故外接球的体积为．选D．
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，
∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．
∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．4097 B．9217 C．9729 D．20481
【答案】B
【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：
，
则，
以上两式作差可得：，
则：．本题选择B选项．
8．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由最小正周期公式可得：，，函数的解析式为：，将函数图像向右平移个单位后得到的函数图像为：，
据此可得：，，
令可得．本题选择B选项．
9．已知实数，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴；
又，∴，
∴，即．选B．
10．如图所示，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，点位于过点且与平面平行的平面上，
如图所示，取的中点，连结，
由正方形的性质可知：，由为平行四边形可知，
由面面平行的判定定理可得：平面平面，
据此可得，点位于直线上，
如图所示，由平面可得，
则，当有最大值时，取得最小值，
即点是的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时的值是．本题选择D选项．
11．经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若交双曲线的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，得，所以，即离心率的范围是，故选B．
12．设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】原问题等价于，令，
则，而，
由可得：，
由可得：，
据此可知，函数在区间上的最小值为，
综上可得：实数的最小值为e．本题选择D选项．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，，若，则实数__________．
【答案】
【解析】由题意，，则．
14． 的内角的对边分别为，已知，则的大小为__________．
【答案】
【解析】由，根据正弦定理得，即，，，又，，，故答案为．
15．已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．
【答案】
【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又，则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得．故答案为：．
16． “求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，
x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；
令u=x2，v=x+2，
则x6+x2＞（x+2）3+（x+2）⇔u3+u＞v3+v；
考查函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，
∴f（u）＞f（v），∴u＞v；
不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；
∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．已知数列的前项和，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，也满足，故，
∵成等比数列，∴，
∴．∴．
（2）由（1）可得，
∴．
18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程．
参考公式：
【答案】（1）2；（2）5；（3）答案见解析．
【解析】（1）设各小长方形的宽度为．
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为，可知
，解得．
故图中各小长方形的宽度为．
（2）由（1）知各小组依次是，，，，，，其中点分别为，，，，，对应的频率分别为，，，，，
故可估计平均值为．
（3）由（2）可知空白栏中填．
由题意可知，，
，，
根据公式，可求得，．
所以所求的回归直线方程为．
19．如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的一点，且，求三棱椎的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设交于，连接，则在中，分别为的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）易知，且平面，
∴．
20．椭圆的右焦点是，，，点是平行四边形的一个顶点，轴．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过作直线交椭圆于两点，，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴且，
又∵ 轴，∴，∴，则．
（2）由（1）得，∴，∴椭圆方程为，
设直线，代入椭圆方程，得：，
设，，则，，
由于，，∴，，
根据题意得，且，代入点坐标得：
，即
，
化简得，解得或．
21．已知函数．
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由已知条件，，当时，，
，当时，，所以所求切线方程为
（2）由已知条件可得有两个相异实根，，
令，则，
1）若，则，单调递增，不可能有两根；
2）若，
令得，可知在上单调递增，在上单调递减，
令解得，
由有，
由有，
从而时函数有两个极值点，
当变化时，，的变化情况如下表
单调递减
单调递增
单调递减
因为，所以，在区间上单调递增，
．
另解：由已知可得，则，令，
则，可知函数在单调递增，在单调递减，
若有两个根，则可得，
当时， ，
所以在区间上单调递增，
所以．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交点分别为，点，求的值．
【答案】（1），曲线；（2）．
【解析】（1），曲线；
（2）将（为参数）代入曲线C的方程，得，
，．
23．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若正实数满足，求证：．
【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】（1）当且仅当时，等式成立．
（2）则，
当且仅当时取，等号成立．
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