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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则是成立的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要
【答案】B
【解析】，因为，所以是成立的必要不充分条件，选B．
2．已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数，，
．
若是实数，则，解得．故选A．
3．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在上单调递增，故满足条件；C是偶函数，在上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在上不单调．故答案为B．
4．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：
1
2
3
4
0.1
3.1
4
则（ ）
A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6
【答案】B
【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得，
，，故选B．
5．若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值，．本题选C．
6．已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由成等比数列得，，，，，，选C．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．
故选C．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1
，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A．
9．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故，，故选D．
10．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，因为，所以，由基本不等式有，故，所以，选B．
11．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该三棱锥的图象如图所示，由，，，可得，，易证平面．
在中，由余弦定理可得，即，
以为轴，以为轴建立如图所示的坐标系，则，，，，设三棱锥的外接球球心为，
则，
解得：，，，∴外接球的半径为，
∴外接球的表面积为，故选C．
12．在等腰梯形中，且，，，其中，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过作交于，则，，所以，，所以，，所以，令，则，因，故，所以，选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________．
【答案】
【解析】∵，∴，即，
∴，∴．
14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．
【答案】
【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当，时，，，，运算程序依次继续：，，；，，；，，；，，；，运算程序结束，输出，应填答案．
15．在中，，，是的外心，若，则______________．
【答案】
【解析】由题意可得：，，，则：
，
，
如图所示，作，，
则，，
综上有：，求解方程组可得：，故．
16．已知函数满足，且当时．若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．
【答案】
【解析】，，当时，；
，故函数，
作函数与的图象如下，
过点时，，，，；故，故，故实数的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．已知在中，，且．
（1）求角，，的大小；
（2）设数列满足，前项和为，若，求的值．
【答案】（1），，；（2）或．
【解析】（1）由已知，又，所以．又由，
所以，所以，
所以为直角三角形，，．
（2）．
所以，，
由，得，所以，所以，所以或．
18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望．
【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1）由题，解得，
．
（2）成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4，
，，
，；
所以的分布列为：
．
19．如图，多面体中，是正方形，是梯形，，，平面且，分别为棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，是正方形，
∴，∵分别为棱的中点，∴，
∵平面，∴，∵，，
∴平面，∴，从而，
∵，是中点，∴，
∵，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）由已知，，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
∴，，设平面的一个法向量为，
由得，令，则，
由（1）可知平面，
∴平面的一个法向量为，
设平面和平面所成锐二面角为，则，
所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
20．已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．
（1）求与的标准方程；
（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求
的面积．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，，
解得，，故椭圆的标准方程为．
又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．
（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，
，
即，
联立，消去整理得，．
依题意，，是方程的两根，，
，，
将和代入得，
解得，（不合题意，应舍去）
联立，消去整理得，，
令，解得．
经检验，，符合要求．
此时，，
．
21．已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在两点为，．
【解析】（1）∵，又，∴，
故所求切线方程为即．
（2）设所求两点为，，，，不妨设，
∵，
由题意：，
∵在上单调递增，
∴，，
又，∴，∴，
解得：，（舍），，（舍）
所以，存在两点为，即为所求．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．
（1）求出曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）的普通方程为；（2）的最小值为．
【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；
，① ，②
①×②消可得：，
因为，所以，所以的普通方程为．
（2）直线的直角坐标方程为：．
由（1）知曲线与直线无公共点，
由于的参数方程为（为参数，，），
所以曲线上的点到直线的距离为：
，
所以当时，的最小值为．
23．已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，原不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，解得，所以；
②当时，原不等式可化为，解得，所以．
③当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上所述，当时，不等式的解集为或．
（2）不等式可化为，
依题意不等式在恒成立，
所以，即，
即，所以，
解得，故所求实数的取值范围是．
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