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山东省 四校
2019届高三联考 理科数学试题
2019.4
注意事项:
本试卷满分150分,分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷为第1页至第3页,第II卷为第3页至第5页。试题答案请用2B铝笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.
1.已知集合A=,集合B=,则=
A. B. C.(0,2) D.
2.已知复数满足 (i是虚数单位),则
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且构成等比数列,则S5=
A.15 B.-15 C.30 D.25
4.已知正实数满足,则
A. B. C. D.
5.已知实数满足约束条件,则目标函数的最小值为
A. B. C. D.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是
A. B.
C. D.
7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有
A.12种 B.18种 C.24种 D.64种
8.如图Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设,则向量
A. B.
C. D.
9.在△ABC中,分别为角A,B,C的对边,若△ABC的面为S,且,则=
A.1 B. C. D.
10.如图所示的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥。在圆内随机取一点,则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是
A. B. C. D.
11.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆上异于长轴端点的一点,△MF1F2的内心为I,直线MI交x轴于点E,若,则椭圆C的离心率是
A. B. C. D.
12.已知函数,当时,方程有4个不相等的实数根,则的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分.
13.观察下列式子,……,根据上述规律,第n个不等式应该为_______.
14.若,则=________。
15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何.”用现在的数学语言表述是:“如图所示,一圆柱形埋在墙壁中,AB=1尺,D为AB的中点,AB⊥CD,CD=1寸,则圆柱底面的直径长是_____寸”.(注:l尺=10寸)
16.如图所示,边长为1的正三角形ABC中,点M,N分别在线段AB,AC上,将△AMN沿线段MN进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点A在线段BC上,则线段AM的最小值为_________
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.(12分)己知数列的前项和满足.
(I)求数列的通项公式;
(II)记为数列的前项和,求使成立的的最小值.
18.(12分)如图在直角中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.
(I)证明:面BCD;
(II)若,求二面角的余弦值.
19.(12分)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活。网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到下表(单位:人)
(I)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关?
(II)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;
②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差.
参考公式:
20.(12分)抛物线,直线l的斜率为2.
(I)若l与C相切,求直线l的方程;
(II)若l与C相交于A,B,线段AB的中垂线交C于P,Q,求的取值范围.
21.(12分)已知函数
(I)当时,证明;
(II)已知点,点,设函数时,试判断的零点个数.
(二)选考题:共10分.请在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【选修4—4:坐标系与参数方程】(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(t为参数),曲线C的极坐标方程为.
(I)求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(II)设点,直线与曲线C相交于A,B,求的值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数.
(I)解关于的不等式;
(II)若恒成立,求实数的取值范围.