2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学模拟试题卷（一）
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上并在指定地方粘贴条形码。
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( )
2. 是虚数单位，则复数的模为（ ）
3. 已知双曲线的虚轴长为4，焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）
5.设函数，则（ ）．
A.1011 B.1010 C.1009 D.1012
6.等差数列中，已知则( )
7. 函数的图像如图所示，则使成立的m的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
第7题图
第8题图
8. 已知正三棱柱的三视图如图所示，若该几何体存在内切球，且与三棱柱的各面均相切，则为（ ）
9. 下图是 年 年我国劳动年龄（ 岁）人口数量及其占总人口比重情况：
根据图表信息，下列统计结论不正确的是（ ）
A． 年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B． 年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C． 年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过
10. 在直三棱柱中，,,为线段上的动点，当最小时，与面所成的角的正弦值是 （ ）
11. 若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（ ）
12. 已知函数,若恒成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 不等式组 所表示的平面区域的面积等于__________．
14．已知，均为单位向量，若，则与的夹角为 ．
15. 在中，，，则 面积的最大值是_______.
16.已知抛物线上有三个不同的点，抛物线的焦点为，且满足，若边所在直线的方程为，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是递增的等比数列且，，
求
18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点平面的距离．
19.（本小题满分12分）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元．
（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间内的概率．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的短轴长等于，椭圆上的点到右焦点最远距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与交于两点（不在轴上），若,且在椭圆上，求四边形面积．
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性，并证明当时，恒成立.
（2）若时，恒成立，试求实数的取值范围.
选考题：请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）已知直线为参数），曲线为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
23.（本小题满分10分）已知，函数的值域为.
（1）求实数的值.
（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的值.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试模拟试答案（一）
命题：夷陵中学文科数学组 审题：夷陵中学文科数学组
一、选择题：CDCCD ADBBA AB
二、填空题：13. 14. 15.2 16.8
三、解答题：
17．（1）由已知得，，......................................................................3分
所以通项公式为.......................................................................................6分.
（2） 由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，
所以，........................................................................................................................8分.
∴
．................................................................................12分.
18.解：（1）连接，与交于点，连接，
则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．...................................................5分（2）由点为的中点，且点平面可知，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，
由题意得，，，，，所以，
在中，，，，
设点到平面的距离为，则，
由，得，，
所以点到平面的距离为．............................................................................12分
19.解：（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：
，化简得．.............................3分
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：
........................8分
②由于时，，
显然在区间上单调递增，
，得；，得；
日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：．......................................................................................................................12分
21.解析：（1）①由题知.............................................................................................1分
若，则，故在上单调递增
若，时单调递减，单调递增...........................4分
②当时，在上单调递增，故即证...............................5分
（2）
令，..........................................................6分
当时， 由（1）知恒成立，故，所以在上单调递增，从而恒成立，.................................................................................................................................9分
当，令，因为时，，故在上单调递增，而，故存在，使得，从而在上单调递减，上单调递增，又，此时不成立，不合题意。
综上可知，......................................................................................................12分
22.直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与 的交点为，，，则．..........5分
（2）曲线 的参数方程为为参数），故点的坐标为，，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．......................................10分
23. 解：（1）由绝对值不等式可知：
又，所以..............................................................................................................5分
（2），
若，恒成立，即在恒成立，得
若 ， 有
若， 有，综上有...................................................
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