2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学模拟试题卷（一）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
3．在等差数列中，，则数列的前11项和( )
A. 8 B. 16 C. 22 D. 44
4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
5．若 的展开式中存在常数项，则下列选项中n可为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( )
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
7. 已知抛物线C: ，定点A（0，2），B（0，），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
8． 若，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值为
A. B. C. D.
9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
10. 如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，
且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：
① AD∥平面SBC；
② ；
③ 若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④ 与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B.2 C. 3 D.4
11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为
A. 64 B. C. 36 D. 16
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知平面向量满足, 则 .
14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件中的整数 的值是 .
15. 已知，满足，且目标函数的最大值为，最小值为，
则= .
16. 已知，若不等式恰好有两个整数解，则的取值范围是的 .
三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知，，.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）若锐角的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，求周长的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，已知，
，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
19． （本小题满分12分）
在2018年高考数学的全国I卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲某校高三质量检测的命题采用了全国I卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下
已知每名学生只做了一道题：
得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
70
80
100
500
文科人数
5
20
10
5
70
得分
0
3
5
8
10
理科人数
10
10
15
25
40
文科人数
5
5
25
0
5
（第22题的得分统计表） （ 第23题的得分统计表）
(1) 完成如下2x2列联表，并判断能否有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；
选做22题
选做23题
总计
文科人数
理科人数
总计
(2) 现有4名考生选择第23题，以题中所给的选第23题得分的频率作为概率，求这4名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；
(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.
得分率题目平均分题目满分，结果精确到
附：，其中
19． （本小题满分12分）
已知椭圆的左，右焦点分别为，过且斜率不为0的直线交椭圆C于M, N两点，的周长为8，且到M,N两点的距离之和的最大值为5.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆C的左，右顶点分别为A，B，证明：直线MA，NB的交点P在定直线上，并求出直线的方程.
20． （本小题满分12分）
设函数
（1）当，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设在上有两个极值点，．
① 求实数的取值范围；
② 求证：
(二)选考题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分）
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (t为参数)．
(1) 求曲线C和直线的普通方程；
(2) 设，直线与曲线C交于A，B两点，若，求直线的斜率.
23. [选修4—5：不等式选讲](10分)
设函数
（1）当时，解不等式
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试模拟试答案（一）
命题：夷陵中学文科数学组 审题：夷陵中学文科数学组
一、选择题：CDCCD ADBBA AB
二、填空题：13. 14. 15.2 16.8
三、解答题：
17．（1）由已知得，，......................................................................3分
所以通项公式为.......................................................................................6分.
（2） 由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，
所以，........................................................................................................................8分.
∴
．................................................................................12分.
18.解：（1）连接，与交于点，连接，
则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．...................................................5分（2）由点为的中点，且点平面可知，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，
由题意得，，，，，所以，
在中，，，，
设点到平面的距离为，则，
由，得，，
所以点到平面的距离为．............................................................................12分
19.解：（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：
，化简得．.............................3分
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：
........................8分
②由于时，，
显然在区间上单调递增，
，得；，得；
日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：．......................................................................................................................12分
21.解析：（1）①由题知.............................................................................................1分
若，则，故在上单调递增
若，时单调递减，单调递增...........................4分
②当时，在上单调递增，故即证...............................5分
（2）
令，..........................................................6分
当时， 由（1）知恒成立，故，所以在上单调递增，从而恒成立，.................................................................................................................................9分
当，令，因为时，，故在上单调递增，而，故存在，使得，从而在上单调递减，上单调递增，又，此时不成立，不合题意。
综上可知，......................................................................................................12分
22.直线的普通方程为，的普通方程．
联立方程组，解得与 的交点为，，，则．..........5分
（2）曲线 的参数方程为为参数），故点的坐标为，，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．......................................10分
23. 解：（1）由绝对值不等式可知：
又，所以..............................................................................................................5分
（2），
若，恒成立，即在恒成立，得
若 ， 有
若， 有，综上有...................................................
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