天津市十二校联考2019届高三下学期二模考试数学（文）试题PDF版含答案.pdf

2019 年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二） 数 学（文） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷（选择题，共 40 分） 注意事项：[:Zxxk.Com] 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 填涂其它答案，不能答在试卷上。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的。 1．设集合  1,0,1,2M =− ， 4| 1,2N x x Zx =  + ，则 MN=（ ） A． 0,1 B． 1,0,1− C． 1,,1− D． 0,1,2 2．设变量 x, y 满足约束条件 4 10, 4 3 20, 0, xy xy y +  +   则目标函数 10 2z x y=+的最大值为（ ） A． 25 B． 20 C． 40 3 D． 45 2 3．设 xR ，则“ 12x −”是“ ( 2) 0xx−”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．阅读如图的程序框图，输出 S 的值为（ ） A．5 B． 20 C．60 D．120 5．已知点( ,9)m 在幂函数 ( ) ( 2) nf x m x=− 的图象上，设 1 3 1( ), (ln )3a f m b f− ==， 2()2cf= 则 ,,abc的大小关系为（ ） A． a c b B．b c a C．c a b D．bac 6．设双曲线 22 221( 0, 0xy abab− =   ）的左焦点为 F ,离心率是 5 2 ， M 是双曲线渐近线上的点，且 OM MF⊥ (O 为原点)，若 16OMFS = ，则双曲线的方程为（ ） A． 22 136 9 xy−= B． 2 2 14 x y−= C． 22 116 4 xy−= D． 22 164 16 xy−= 7．已知函数 ( ) ( )tan 0 , 02f x x    = +    的最小正周期为 2  ，且 ( )fx的图象过点 ,03   ，则方程 ( )  ( )sin 2 0,3f x x x = +  所有解的和为（ ） A． 7 6  B． 5 6  C． 2 D． 3  [:Zxxk.Com] 8．已知函数 2 7 1,( )= 6 3 4, x x afx x x x a − −   + +  ， ( ) ( )g x f x ax=-，若函数 ()gx恰有三个不同的零点，则实 数 a 的取值范围是（ ） A． 43, 3 −−  B． 47,36 −− C．( ),1− − D．( )7+， 第Ⅱ卷 (非选择题，共 110 分) 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9 ． 已知 aR ， i 为 虚 数 单 位 ， 复数 121 2 , 2z i z a i= − = + ，若 2 1 z z 是 纯 虚 数 ， 则 的值 为 . 10．已知函数 ( ) (2 ln )xf x e x=−， '( )fx为 ()fx的导函数，则 '(1)f 的值为 . 11．已知圆锥的高为 3 ，底面半径长为 4 ，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积 为 . 12．已知圆C 的圆心在 x 轴上，且圆 与 y 轴相切，过点 (2,2)P 的直线与圆C 相切于点 A ， | | 2 3PA = ，则圆C 的方程为 . 13．若 ,a b R ,且 22 1,ab− = − 则 | | 1a b + 的最大值为 . 14．在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， 2, 1AB BC CD= = = ， M 是线段 BC 上的动点， 若 3BD AM = − uuur uuuur ，则 BA BC uuur uuur 的取值范围是 . 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会 从中随机抽取了50 名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将 数据进行整理，分为 5 组： )10,12 ，  )12 14， ， )14 16， ， )16 18， ， 18 20， ， 得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户 外运动 时间不小于16小时的人数； （Ⅱ）已知这 名居民中恰有 2 名女性的户外 运动时间在 ，现从户外运动时间 在 的样本对应的居民中随机抽 取 2 人，求至少抽到1名女性的概率. 16．（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc， 已知 2sin sin cos 2 ,a A B b A a+= （Ⅰ）求 a b 的值； （Ⅱ）若 2cb= ，求sin(2 )3C − 的值． 17．(本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中， PA ⊥ 平面 ABCD ， 7CD = ， 3, 2,PA AC==BD 是线段 AC 的中垂线， BD AC O=， G 为线段 PC 上的点． （Ⅰ）证明：平面 BDG ⊥ 平面 PAC ； （Ⅱ）若G 为 PC 的中点，求异面直线GD 与 PA 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的大小． P B C D A G O 18．(本小题满分 13 分）设  na 是等比数列，  nb 是递增的等差数列， 的前 n 项和为 nS *)nN（ ， 1 2a = ， 1 1b = ， 4 1 3S a a=+， 2 1 3a b b=+. （Ⅰ）求 与 nb 的通项公式； （Ⅱ）设 1 ( 1) nn n abc nn −= + ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求满足 322n nT −+ 成立的n 的 最大值. 19．（本小题满分 14 分）设椭圆 22 221( 0)xy abab+ =   的左焦点为 F ，下顶点为 A ，上顶点为 B ， FAB 是等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设直线 :l x a=− ，过点 A 且斜率为 0)kk（ 的直线与椭圆交于点C (C 异于点 )A ，线 段 AC 的垂直平分线与直线l 交于点 P ，与直线 AC 交于点Q ，若 7| | | |4PQ AC= . (ⅰ)求 k 的值； (ⅱ)已知点 44( , )55M −−，点 N 在椭圆上，若四边形 AMCN 为平行四边形，求椭圆的方 程. 20．（本小题满分 14 分）设函数 32( ) (2 )f x x bx a x= − + − ( , , 0)a b R b， xR ，已知 ()fx 有三个互不相等的零点 12, 0,xx，且 12xx . （Ⅰ）若 3()f b b=− .[:学。科。网] (ⅰ)讨论 的单调区间； (ⅱ)对任意的  12,x x x ，都有 ()f x b 成立，求b 的取值范围； （Ⅱ）若 =3b 且 121 xx，设函数 ()fx在 0x = ， 1xx= 处的切线分别为直线 1l ，2l ， 00( , )P x y 是直线 1l ， 的交点，求 0x 的取值范围. 2019 年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二） 数学试卷（文科） 评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A D A B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．4； 10． e ； 11. 20 5 3  ； 12． 22( 1) 1xy+ + = ； 13． 2 ； 14． 1,10 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题满分 13 分） 解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于 16 小时人数的频率为： (0.1 0.06) 2 0.32+  = ， 0.32 500=160Q 人，本月户外运动时间不小于 16 小时的人数为 160 人 . ……3 分 (II)  18,20 的样本内共有居民50 0.06 2=6人，2 名女性，4 名男性， 设四名男性分别表示为 , , ,A B C D ,两名女性分别表示为 ,EF ………………4 分 则从 6 名居民中随机抽取 2 名的所有可能结果为：          , , , , , , , , ,A B A C A D A E A F        , , , , , , ,B C B D B E B F      , , , , ,C D C E C F    , , ,D E D F  ,EF 共 15 种. ………………9 分 （ii）设事件 M 为“抽取的 2 名居民至少有一名女性”，则 中所含的结果为：    , , ,A E A F    , , ,B E B F，    , , , ,C E C F    , , ,D E D F，  ,EF， 共 9 种 ………………12 分 事件 M 发生的概率为 93( ) =15 5PM = . ………………13 分 16.（本小题满分 13 分） 解：(I)由正弦定理得： 2sin sin sin sin cos 2sinA A B B A A+=， ………………1 分 得： 22sin (sin cos ) 2sinB A A A+=， ………………2 分 sin 2sin 2B A b a=  = 即 1 2 a b = . ………………4 分 (II) 2 2 2 2 2 2 2 1( ) 2 32cos 24 b b ba b cC ab b +−+−= = = − , ………………5 分 97(0, ) sin 1 16 4CC  = − =Q , ………………7 分 37sin 2 2sin cos 8C C C −==, ………………9 分[:学#科#网 Z#X#X#K] 2 1cos 2 2cos 1 8CC= − = , ………………11 分 3 7 3sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin3 3 3 16C C C   −− − = − = . ………………13 分 17.(本小题满分 13 分） 解: (I) PA ⊥Q 面 ABCD , BD  面 ABCD BD PA⊥又 BD AC⊥Q PA AC A BD =  ⊥ 面 PAC 又 BD Q 面 BDG面 BDG ⊥ 面 ……………4 分 (II) 连结GO , ,OGQ 分别为边 AC PC， 的中点， //GO PA  OGD 为异面直线GD 与 PA 所成角或其补角 ………………6 分 在 Rt GOD 中， 13,622OG PA OD= = = tan 2 2ODOGD OG  = = ………8 分 所以异面直线 与 所成角的正切值为 22. ………………9 分 (III) 连结 PO ，作 AH PO⊥ 交 于点 H , 由(I)可知 BD ⊥ 面 面 PBD 面 PBD ⊥ 面 = AH⊥面 PBD ， PH 为斜线 PA 在面 内的射影, APH 为线 与面 所成角, ………………11 分 在 Rt PAO 中， 1sin sin 2 AOAPH APO PO =  = = 直线 PA 与面 PBD 所成角为30o . ………………13 分 18.(本小题满分 13 分） 解： (I)由已知得 231 1 dq qd  =−  =+ ………………2 分 解得 1 0 q d =  = （舍） 2 1 q d =  = ………………4 分 2,n nna b n = = . ………………6 分 (II) 1 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 1 n n n nn n nn ab nc b b n n n n + − − − = = = −++ ………………9 分 3 2 1 12 2 2 2 20 = 23 2 1 1 n n n nT n n n ++ = + − + + − −++L ………………11 分 1 32221 n n nT n + −+ = + 解得 15 14n n N n   =Q ………………12 分 即满足条件的最大值为 14 . ………………13 分 19.（本小题满分 14 分） 解：(I) 由题意可知， 3 3 b c = ， 2 2 2 ,a b c=+Q 224 3ac= . 3 2 ce a = = . ………………3 分 （II）(ⅰ) 2 2 2 2 2 23 4 ,a b c b b b= + = + =Q 设椭圆方程为 22 2214 xy bb+=, 联立 22 2214 xy bb y kx b  +=  =− 得 22(4 1) 8 0k x bkx+ − = 解得： 2 80, 41AC kbxxk==+ …………5 分 2 2 4 41C k b by k −= + ………………6 分 Q 为 AC 中点， 22 4( , )4 1 4 1 kb bQ kk − ++ ………………7 分 法 1：过点Q 作 1QQ 垂直于l ，过点 A 与点C 分别作 x 轴， y 轴的平行线，其交点为 2Q , 由 2CQ A 相似于 1PQ Q 可得: 2 2 2 4 2 8 7 84 Q C xbPQ kb b k b AC y b k b + ++= = =+ , 20 3 2 1 0 1b k k k  − − =  =Q 或 1 3k =− (舍) 直线 AC 的斜率为 1.……10 分 法 2： 2 2 81 14 kbAC k k=+ + …………8 分 PQ 所在的直线方程为 22 14()1 4 1 4 b kbyxk k k+ = − −++ 令 2xb=− 解得 2 322,14 bbPb kk −++ 2 22 22 4 2 8 4 2 1 4 1 4 kb b k b b bPQ k k k ++ = + +++ =( ) ( ) 2 2 2 14 2 8 14 kkb b k b kk +++ + …………9 分 7| | | |4PQ AC=Q ， 23 2 1 0kk − − = 解得 1k = 或 (舍) 直线 的斜率为 1. …………10 分 （ii） 8 3 4 41 , , (0, ), ( , )5 5 5 5 bbk C A b M=  − − − Q , 设 00( , )N x y Q 四边形 AMCN 为平行四边形， 00 4 4 8 3( , ) ( , )5 5 5 5 bbMA CN b x y =  − + = − − uuur uuur , ……………11 分 即 00 8 4 2 4,5 5 5 5 bbxy= + = − + , ……………12 分 又Q 点 00( , )N x y 在椭圆上， 2 2 2 0044xyb + = ……………13 分 解得 2 42bb=  = ，该椭圆方程为： 22 116 4 xy+= ………………14 分 20.（本小题满分 14 分） 解：(I) (ⅰ) 3 3 3( ) (2 )f b b b a b b= − + − = − 0b Q ， 2(2 )ab − = − ………………1 分 3 2 2()f x x bx b x = − − , 22'( ) 3 2 ( )(3 )f x x bx b x b x b= − − = − + , ………………2 分 当 0b  时， ()fx在( , )3 b− − ， ( , )b + 单调递增，在( , )3 b b− 单调递减………………3 分 当 0b  时， ()fx在( , )b− ， ( , )3 b− + 单调递增，在( , )3 bb − 单调递减………………4 分 (ⅱ)由(ⅰ)知当 时， 在 1( , )3 bx − ， 2( , )bx 单调递增，在 单调递减 3 2 3 2 max 5( ) ( ) ( )3 27 9 3 27 b b b b bf x f b b b= − = − − − − =  2 27 3 15055bb     ………………6 分 时， 在 1( , )xb， 2( , )3 b x− 单调递增，在 单调递减 3 max( ) ( )f x f b b b= = −  不成立 ………………7 分 综上 3 150, 5b   ………………8 分 （II）令 32( ) 3 (2 ) =0f x x x a x= − + − 则 0x = 或 2 3 (2 ) 0x x a− + − = ， 令 2( ) 3 (2 )g x x x a= − + − 则 ()gx有两个零点为 12xx， 且 121 xx 又 ()gxQ 对称轴为 3 2x = 1 31 2x   ，且 2 113 (2 ) 0x x a− + − = ………………9 分 2'( ) 3 6 (2 )f x x x a= − + − ，设 12,ll的斜率分别为 12,kk 2 1 1 1'(0) 2 3k f a x x = = − = − + 2 1 1 1: ( 3 )l y x x x = − + ………………10 分 22 2 1 1 1 1 1= '( ) 3 6 (2 ) 2 3k f x x x a x x= − + − = − 2 2 1 1 1: (2 3 )( )l y x x x x = − − …………11 分 1l 与 2l 的直线方程联立求得： 2 11 0 1 23 36 xxx x −= − ………………12 分 令 223() 36 xxhx x −= − 2 6( 1)( 3)'( ) (3 6) xxhx x −−= − '( ) 0hx在 3(1, )2 恒成立， ()hx 在 上单调递减， ………………13 分[:学|科|网] 而 13(1) , ( ) 032hh== 10 ( ) 3hx   0 1(0, )3x ………………14 分