高二期中数学试卷（文科）.pdf

1 江苏省扬州中学 2018-2019 年度第二学期期中考试 高二数学（文科） 注意事项：(1)本卷总分为 160 分，考试时间为 120 分钟； (2)请各位考生将试卷答案填写在答题纸上. 一、填空题（每题 5 分，合计 70 分） 1．已知集合퐴 = { 1 ，3，  푎 }，퐵 = { 4 ， 5 }．若퐴 ∩ 퐵 = { 4 }，则实数푎的值为________. 2．已知复数푧 = 1+3푖 푖 (𝑖是虚数单位)，则푧的虚部等于________. 3．命题“∀푥휖푅, |푥| + 푥2 > 0”的否定是___________________. 4．函数푓(푥) = √1 − log2푥的定义域为________. 5．曲线푓(푥) = 푒푥 푥 在点(1,푓(1))处的切线斜率为________. 6. 27 2 3 + (1 4) log2√3 − log8 1 4 =________． 7．函数푓(푥) = {2푥 − 5, 푥 ≤ 2, 3sin푥, 푥 > 2, 的值域为________． 8．若函数푓(푥) = 푥3 + 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푥휖푅),则“푥0是푓(푥)的极值点”是“푓′(푥0) = 0”的________条件． （注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 9．已知函数푓(푥) = 푔(푥) + 2019 2018 푥2，函数푔(푥)是定义域为푅的奇函数，且푓(1) = 2，则푓(−1)的值为_____. 10．设푃是边长为2的正훥퐴퐵퐶内的一点，푃点到三边的距离分别为ℎ1、ℎ2、ℎ3，则ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 = √3；类 比到空间，设푃是棱长为2的空间正四面体퐴퐵퐶퐷内的一点，则푃点到四个面的距离之和 ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ℎ4=________． 11．已知函数푓(푥)的周期为 4，且当푥 ∈ (0,4]时，푓(푥) = { 푐표푠 휋푥 2 , 0 < 푥 ≤ 2, log2 (푥 − 3 2) , 2 < 푥 ≤ 4. 则푓 (푓 (− 1 2))的值为__. 12．已知푓(푥) = 푥3 − 푥2푓′(1) − 1，则푓′(−1) = ________. 13．已知函数푓(푥) = −(푥 − 1)2 + 1，若方程3(푓(푥))2 − 푓(푥) + 푚 = 0在(0, √2 2 + 1)内有两个不同的解，则 实数 m 的取值范围为________. 14．若正实数푎, 푏满足푎 + 푏 = 1，则函数푓(푥) = 푎푥2 + (3 + 1 푏)푥 − 푎的零点的最大值为________. 2 二、解答题(合计 90 分) 15．（ 本题 14 分）已知复数 z＝b𝑖 (b∈R)，푧−2 1+푖 是纯虚数，𝑖是虚数单位． (1)求复数 z；(2)若复数(m＋z)2 所表示的点在第二象限，求实数 m 的取值范围． 16．（ 本题 14 分）已知命题푝：对任意푥 ∈ 푅，不等式2푥 + |2푥 − 2| > 푎2 − 푎恒成立；命题푞：关于푥的方 程푥2 + 2푎푥 + 1 = 0有两个不相等的实数根.若“(¬푝) ∨ 푞”为真命题，“(¬푝) ∧ 푞”为假命题，求实数푎的取值 范围. 17. （本题 15 分） 某市为了加快经济发展，2019 年计划投入专项奖金加强旅游景点基础设施改造.据调查，改造后预计该市 在一个月内（以 30 天计），旅游人数푓(푥)(万人)与日期푥(日)的函数关系近似满足： 푓(푥) = 3 − 1 20 푥，人均消费푔(푥)(元)与日期푥(日)的函数关系近似满足：푔(푥) = 60 − |푥 − 20|. （1）求该市旅游日收入푝(푥)(万元)与日期푥（1 ≤ 푥 ≤ 30，푥 ∈ 푁+）的函数关系式； （2）求该市旅游日收入푝(푥)的最大值. 3 18．（ 本题 15 分）已知函数푓(푥) = 푒푥 + 푎푒−푥，푎 ∈ 푅． (1)若푓(푥)是푅上的偶函数，求푎的值．(2)判断푔(푥) = 푙푛(푒푥 + 1) − 1 2 푥的奇偶性，并证明． 19．（ 本题 16 分）已知푥 = 1是函数푔(푥) = 푎푥2 − 2푎푥 + 1的零点，푓(푥) = 푔(푥) 푥 ， (1)求实数푎的值；(2)若不等式푓(ln푥) − 푘ln푥 ≥ 0在푥 ∈ [푒, 푒2]上恒成立，求实数푘的取值范围； (3)若方程푓(|2푥 − 1|) + 푘( 3 |2푥−1|) − 3푘 = 0有三个不同的实数解，求实数푘的取值范围． 4 20．（ 本题 16 分）已知函数푓(푥) = 푚ln푥 − 1 2 푥2 + 1(푚 ∈ 푅). （1）若푦 = 푓(푥)在(1, 푓(1))处的切线方程为푦 = 푥 + 푛 2 (푛 ∈ 푅)，求푚, 푛的值； （2）若푚为区间[1,4]上的任意实数，且对任意푥1, 푥2 ∈ (0,1]，总有|푓(푥1) − 푓(푥2)| ≤ 푡| 1 푥1 − 1 푥2 |成立， 求实数푡的最小值.