天津市部分区（五区联考）2019届高三下学期二模考试数学（文）试题PDF版含答案.pdf

天津市部分区 2019 年高三质量调查试卷（二） 数学（文）试题参考答案与评分标准 一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C A D A B 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 5 5 10．퐞−ퟏ 11． 1 6 12．(풙 + ퟏ)ퟐ + (풚 + ퟏ)ퟐ = ퟐ 13． 9 2 14．(ퟎ, ퟏ) 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分） 15．解：（ Ⅰ）∵(ퟑ풂 + 풃) 퐜퐨퐬 푪 + 풄 퐜퐨퐬 푩 = ퟎ，由 sin sin sin a b c A B C== ……1 分 ∴(ퟑ 퐬퐢퐧 푨 + 퐬퐢퐧 푩) 퐜퐨퐬 푪 + 퐬퐢퐧 푪 퐜퐨퐬 푩 = ퟎ， ………………………………2 分 ∴ퟑ 퐬퐢퐧 푨 퐜퐨퐬 푪 +퐬퐢퐧(푩 + 푪) = ퟎ， ……………………………………………4 分 在∆푨푩푪中，由于퐬퐢퐧(푩 + 푪) = 퐬퐢퐧 푨 ≠ ퟎ， ……………………………………5 分 ∴퐜퐨퐬 푪 = 1 3− . ………………………………………………．．．．…………6 分 （Ⅱ）∵풄 = √ퟔ，由（Ⅰ）及由余弦定理，得ퟔ = 풂ퟐ + 풃ퟐ − ퟐ풂풃퐜퐨퐬 푪，……7 分 即ퟔ = 풂ퟐ + 풃ퟐ − ퟐ풂풃 × ( )， ∴풂ퟐ + 풃ퟐ + 2 3 풂풃 = ퟔ，∴(풂 + 풃)ퟐ − 4 3 풂풃 = ퟔ.（※） ……………………9 分 由（Ⅰ）知퐬퐢퐧 푪 = √ퟏ − 풄풐풔ퟐ푪 = 22 3 . ……………………10 分 由题意，得푺∆푨푩푪 = 1 2 풂풃 퐬퐢퐧 푪 = 32 4 ，∴풂풃 = 9 4 . ………………………12 分 结合（※）式，得풂 + 풃 = ퟑ. ……………………………………………13 分 16．解：（ Ⅰ）因为表中所有应聘人数为533 467 1000+= ，………………………1 分 被录用的人数为 264 169 433+=． …………………………………2 分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择 1 人， 此人被录用的概率约为푷 = 433 1000 . …………………………………………4 分 （Ⅱ）记应聘푫学科的男性为 1 2 3,,A A A ,应聘푫学科的女性为 1 2 3,,B B B ，从应聘푫学科的 6 人中随机选择 2 人，共有 15 种结果： 12{ , },AA 13{ , },AA 11{ , },AB 1 2 1 3{ , },{ , }A B A B ， 23{ , },AA 2 1 2 2 2 3{ , },{ , },{ , }A B A B A B ， 3 1 3 2{ , },{ , },A B A B 33{ , }AB， 1 2 1 3 2 3{ , },{ , },{ , }.B B B B B B ……………………………………8 分 事件 M “抽取的 2 人性别不同”情况有 9 种： 33{ , }.AB …………………………………………10 分 易得，其概率为 93=15 5 …………………………………………12 分 所以事件 M 发生的概率为 3 5 ……………………………13 分 17．解：（ Ⅰ）如图所示，四边形푩푪푫푬是等腰梯形， 所以 DE ∥ BC . 所以∠푨푫푬就是异面直线 AD 与 BC 所成的角，……2 分 在∆푨푫푬中，푨푫 = 푨푬. 又푶为푫푬的中点，所以푨푶 ⊥ 푫푬. 在∆푨푫푶中，푨푫 = √ퟓ,푨푶 = ퟐ， 所以异面直线 与 所成角的正弦值为 25 5 .……5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，푨푶 ⊥ 푫푬. ………………………………………6 分 因为平面푨푫푬 ⊥平面푩푪푬푫，平面푨푫푬 ∩平面푩푪푬푫 = 푫푬,且푨푶 ⊂平面푨ퟏ푫푬， 所以푨푶 ⊥平面푩푪푬푫， …………………………………………………… 7 分 所以푪푶 ⊥ 푨푶. ……………………………………………………………8 分 在∆푶푩푪中，푩푪 = ퟒ，易得푶푩 = 푶푪 = ퟐ√ퟐ，所以푪푶 ⊥ 푩푶， 又因为푨푶 ∩ 푩푶 = 푶，所以푪푶 ⊥平面푨푶푩. ……………………………9 分 又푪푶 ⊂平面푨푶푪， 所以平面푨푶푩 ⊥平面푨푶푪. ……………………………………………10 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知푪푶 ⊥平面푨푶푩， 所以直线푨푪与平面푨푶푩所成角就是∠푪푨푶. ……………………………11 分 在푹풕∆푨푶푪中，푶푪 = ퟐ√ퟐ,푨푶 = ퟐ，所以퐭퐚퐧 ∠푪푨푶 = OC OA = √ퟐ， 所以直线푨푪与平面푨푶푩所成角的正切值为√ퟐ． ………………………13 分 18．解：（ Ⅰ）设等比数列{풂풏}的公比为풒， ………………………………………1 分 由{풂ퟒ − ퟐ풂ퟑ = ퟗ, 풂ퟐ = ퟑ 得{풂ퟐ(풒ퟐ − ퟐ풒) = ퟗ, 풂ퟐ = ퟑ ………………………………2 分 解得 3q = 或 1q =- . …………… …………………………………………3 分 因为数列{풂풏}为正项数列，所以풒 = ퟑ， …………………………………5 分 所以，首项풂ퟏ = 2a q = ퟏ， 故其通项公式为풂풏 = ퟑ풏−ퟏ. ………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得풃풏 = (ퟐ풏 − ퟏ) ∙ 퐥퐨퐠ퟑ풂ퟐ풏+ퟐ = (ퟐ풏 − ퟏ)(ퟐ풏 + ퟏ)， ………8 分 所以 1 1 1 1 1()(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1bn n n n n= = −− + − + …………………………10 分 所以 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1n n T b b b n n= + + + = − + − + + −−+LL 11= 2 4 2n− + 所以푻풏 < 1 2 . …………………………………………………………………13 分 19．解：（Ⅰ）设椭圆푪的半焦距为풄．依题意，得 2 2 c a = 且 22 211ab+= ，又因为풂ퟐ = 풃ퟐ + 풄ퟐ， ……………………………3 分 解得풂ퟐ = ퟒ，풃ퟐ = ퟐ. 所以，椭圆푪的方程为 22 142 xy+= . …………………………………………5 分 （Ⅱ）易知，“椭圆푪上存在点푷，使得∠푨푷푩 = ퟗퟎ°”等价于“存在不是椭圆左、右顶 点的点푷，使得푷푨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 푷푩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ퟎ成立”． …………………………………6 分 依题意，点푨(−ퟐ, ퟎ)，设푩(풕,ퟎ),푷(풎, 풏)，则有풎ퟐ + ퟐ풏ퟐ = ퟒ,① ……7 分 且푷푨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−ퟐ − 풎,−풏)，푷푩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (풕 − 풎, −풏)， 所以(−ퟐ − 풎, −풏) ∙ (풕 − 풎, −풏) = ퟎ， 即(−ퟐ − 풎)(풕 − 풎) + 풏ퟐ = ퟎ. ② …………………………………………9 分 由①得， 풏ퟐ = 24 2 m− 代入②，得 (−ퟐ − 풎)(풕 − 풎) + = ퟎ，③ …………………………………………10 分 因为−ퟐ < 풎 < ퟐ，所以③化为풎 − 풕 + 2 2 m− = ퟎ， 即풎 = ퟐ풕 − ퟐ. ………………………………………………………………12 分 所以−ퟐ < ퟐ풕 − ퟐ < ퟐ，解得ퟎ < 풕 < ퟐ. 故所求点푩的横坐标的取值范围是(ퟎ, ퟐ)． ………………………………14 分 20．解：（Ⅰ）由풂 = ퟎ，得풇(풙) = (풙 − ퟑ)퐞풙， 所以풇′(풙) = (풙 − ퟐ)퐞풙， ………………………………2 分 由풇′(풙) < ퟎ得풙 < ퟐ, 由풇′(풙) > ퟎ得풙 > ퟐ, 所以，函数 ( )fx的单调增区间是( )2+， ；单调减区间是( )2−， .………4 分 （Ⅱ）풇(풙) = (풙 − ퟑ)[퐞풙 + 풂(풙 − ퟑ)]， 易得函数풇(풙)有一个零点풙 = ퟑ. ……………………………………………5 分 令퐠(풙) = 퐞풙 + 풂(풙 − ퟑ). 1）若풂 = ퟎ，则퐠(풙) = 퐞풙 > ퟎ，퐠(풙)无零点， 所以函数풇(풙)只有一个零点； ………………………………………6 分 2）若풂 ≠ ퟎ，则퐠′(풙) = 퐞풙 + 풂， ①当풂 > ퟎ时，有퐠′(풙) > ퟎ，所以函数퐠(풙)在(−∞, +∞)上单调递增， 而퐠（ 1 a− ） = 퐞−ퟏ 풂 − ퟏ − ퟑ풂 < ퟎ, 퐠(ퟑ) = 퐞ퟑ > ퟎ，此时函数퐠(풙)在 1( 3)a− , 内有一 个零点， 所以풇(풙)有两个零点. ……………………………………………………7 分 ②当풂 < ퟎ时，由퐠′(풙) = 퐞풙 + 풂 = ퟎ，得풙 = 퐥퐧(−풂)， 所以函数퐠(풙)在区间(−∞,퐥퐧(−풂))单调递减，在区间(퐥퐧(−풂), +∞)单调递增， 所以函数퐠(풙)퐦퐢퐧 = 퐠(퐥퐧(−풂)) = 풂[퐥퐧(−풂) − ퟒ]. …………………………8 分 （ⅰ）当퐥퐧(−풂) − ퟒ < ퟎ，即−퐞ퟒ < 풂 < ퟎ时， 퐠(풙)퐦퐢퐧 = 퐠(퐥퐧(−풂)) = 풂[퐥퐧(−풂) − ퟒ] > ퟎ, 此时函数퐠(풙)在其定义域内无零点，所以函数풇(풙)只有一个零点. （ⅱ）当퐥퐧(−풂) − ퟒ = ퟎ，即 풂 = −퐞ퟒ < ퟎ，此时函数퐠(풙)有一个零点为 4，所以函数풇(풙)有 两个零点. （ⅲ）当퐥퐧(−풂) − ퟒ > ퟎ，即풂 < −퐞ퟒ时，퐠(풙)퐦퐢퐧 < ퟎ， 此时函数퐠(퐱)有两个零点，因为 (3) 0g  ，所以这两个零点均不为 3. 所以函数 ()fx有三个零点. ………………………………………………12 分 综上述，当풂 = ퟎ或−퐞ퟒ < 풂 < ퟎ时，函数풇(풙)只有一个零点； 当풂 > ퟎ或풂 = −퐞ퟒ时，函数풇(풙)有两个零点； 当풂 < −퐞ퟒ时，函数풇(풙)有三个零点. ………………………14 分