天津市部分区 2019 年高三质量调查试卷（二）
数学（理）试题参考答案与评分标准
一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A A C B D
二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
9． 12
55i- 10．30 11． 8
3
12．相交 13． 63 14．84
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分）
15．解：
（Ⅰ）由题意，得
2( ) cos sin 3cosf x x x x=− ………………………………1 分
13sin 2 (1 cos2 )22xx= − +
…………………………………3 分
1 3 3sin 2 cos22 2 2xx= − − 3sin(2 )32x = − − .…………5 分
所以 ()fx的最小正周期 2
2T p= = p ，其最大值为 31 2− . …6 分
（Ⅱ）令 2,3zx=−
则有函数 2sinyz= 的单调递增区间是 2 , 2 ,22k k k− + +
Z . ………7 分 由 2 2 22 3 2k x k − + − + ,得 5 ,.12 12k x k k− + + Z ………9 分
设 5, , ,3 3 12 12A B x k x k k = = − + +
Z ，
易知 ,3 12AB =
I . ………………………………………………………12 分
所以，当 ,33x
时, ()fx在区间 ,3 12
上单调递增；
在区间
12 3
， 上单调递减. ………………13 分
16．解：
（Ⅰ）设事件 A 为“甲恰好闯关3 次才闯关成功的概率”，则有
21 2 1 1 2 5( ) 1 (1 )2 3 3 2 2 3 18PA = − + − =
， ……………………………4 分
（Ⅱ）由已知得：随机变量훏的所有可能取值为 2,3,4 ， ……………………………5 分
所以， ( ) 2 1 12 32
7
2 122
1P = = + = ， ………………………………………6 分
1 2 1 1 2 1 1 1( 3) 1 (1 )2 3 3 2 2 3 2
2
33
1
3P = = − + − + =
， ……………………8 分
( ) 1 1 14 1 12 2 3
2
12P = = − − =
. ……………………………………10 分
2 3 4 从而
…………………………………………………12 分
所以， 7 1 1 5( ) 2 3 412 3 12 2E x = ? ? ? . …………………………………13 分
17．解：（ Ⅰ）证明：因为 ,QP 分别是 ,AE AB 的中点，
所以， 1// , 2PQ BE PQ BE= ，……2 分
又 1C// , 2D BE DC BE= ，
所以， //PQ DC ， PQ 平面 ACD ，
DC 平面 ，…………3 分
所以， //PQ 平面 . ……4 分
（Ⅱ）因为 DC ⊥ 平面 ABC， 90 .ACB =
以点C 为坐标原点，分别以 ,,CD CA CB
uuur uuur uuur
的方向为 , ,zxy 轴的正方向建立空间直角
坐标系. ……………………………………………………………………………5 分
则得 (0,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (2,0,0), (4,0,4)C A B D E ， ………………………6 分
所以 (0, 4,4), (2,0,4)AB DE= − =
uuur uuur
，……………………………………………7 分
所以 10cos , 5
AB DEAB DE
AB DE
==
uuur uuuruuur uuur
uuur uuur ， ………………………………………8 分
所以异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值 10
5 . …………………………………9 分
P 7
12 1
3 1
12 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知 (0, 4,4)AB =−
uuur
， (4, 4,4)AE =−
uuur
，
设平面 ABE 的法向量为 ( ), , ,n x y z
r
=
0
0
n AB
n AE
= =
r uuur
r uuur则 ，
=+−
=+−
0444
044
zyx
zy (0,1,1)n
r
所以 = . ………………………10 分
由已知可得平面 ACD 的法向量为以 (0,0,4)CB
uuur
= ，
所以 2cos , 2
n BCn BC
n BC
==
r uuurr uuur
r uuur . ………………………………………….……12 分
故所求平面 ACD 与平面 ABE 所成锐二面角的大小为45.......……….………13 分
18．解：（ Ⅰ）设等比数列{ }na 的公比为풒，.……………………………………………1 分
由 43
2
29
3
aa
a
−=
=
得
2
2
2
( 2 ) 9
3
a q q
a
−=
=
，.......…………………………………………2 分
解得 3q = 或 1q =- .......………………………………………………………………3 分
因为数列{ }na 为正项数列，所以 3q = ，...………………………....………………4 分
所以，首项 2
1 1aa q==，..........………………………………………………………5 分
故其通项公式为 13n
na -= ..........………………………………………………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ( ) 3 2 22 1 log (2 1)(2 1)nnb n a n n+= − = − + ，.......…………………8 分
所以 1 1 1 1 1()(2 n 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n= = −− + − +
，.......………………………10 分 所以
12
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1n
n
T b b b n n= + + + = − + − + + −−+LL
1 1 1
2 4 2 2n= − + .......……………………………………………………13 分
19．解：（ Ⅰ）由椭圆的一个焦点为 ( )1 1,0F − 知: 1c = ，即 221ab−=.①....………2 分
又因为直线 11BF的方程为 0bx y b− + = ，即
2
3
21
b
b
=
+
，所以 3b = .……4 分
由①解得 2 4a = .
故所求椭圆C 的标准方程为
22
143
xy+=....…………………………………………5 分
（Ⅱ）假设存在过点 A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是
可设直线l 的方程为 ( )2y k x=−，...............…………………………………6 分
由
( )
22
143
2
xy
y k x
+=
=−
，得 ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ + − =− .（*）.......………8 分
因为点 是直线 与椭圆 的一个交点，且 2Ax =
所以
2
2
16 12
34AB
kxx k
−=+
，所以
2
2
86
34Bx k
k
−
+= ，
即点
2
22
8 6 12,3 4 3 4
kkB kk
− −++
....……………………………………………………10 分
所以
2
22
16 12,3 4 3 4
kkOA OB kk
+ = −++
uuur uuur
，即
2
22
14 16 12,7 3 4 3 4
kkOT kk
=−++
uuur
. 因为点T 在圆 222xy+=上，所以
2 22
22
2 16 12 27 3 4 3 4
kk
kk
+ − =++
，……11 分
化简得 4248 8 21 0kk− − = ，解得 2 3
4k = ，所以 3
2k = . ………………12 分
经检验知，此时（*）对应的判别式 0 ，满足题意. ………………………13 分
故存在满足条件的直线l ，其方程为 ( )3 22yx= − . ……………….……14 分
20．解：
（Ⅰ）当 2a = 时， ( ) ln 2f x x x=−，所以 1( ) 2fx x
=− ...............………………1 分
( )1 1 2 1f = − = − ， ..........………………………………………….....……...……2 分
则切线方程为 ( )21yx+ = − − ，即 10xy+ + = . ………………....……………3 分
（Ⅱ）①当 0a = 时， ( ) lnf x x= 有唯一零点 1x = ；…………………............………4 分
②当 0a < 时，则 ( ) 0fx ， ( )fx是区间( )0,+ 上的增函数，
因为 ( )10fa= − ， ( ) ( )10a a af e a ae a e= - = - < ，
所以 ( ) ( )10af f e，即函数 ( )fx在区间( )0,+ 有唯一零点； ………6 分
③当 0a > 时，令 ( ) 0fx = 得 1x a= ，
所以，当 10,x a
时， ( ) 0fx ，函数 ( )fx在区间 10, a
上是增函数；
且 −→→ )(,0 xfx ； 当 1 ,x a
+
时， ( ) 0fx ，函数 ( )fx是在 1 +a
， 上是减函数，
且 −→+→ )(, xfx ；
所以在区间( )0,+ 上，函数 ( )fx的极大值为 11ln 1 ln 1faaa
= − = − −
， …8 分
由 1 0f a
，即 ln 1 0a- - < ，解得 1a e> ，
故所求实数 a 的取值范围是 1 ,e
+
. …………………………………………9 分
（Ⅲ）设 120xx>>，由 ( )1 0fx= ， ( )2 0fx = ，可得 11ln 0x ax-=， 22ln 0x ax-=，
所以 ( )1 2 1 2ln lnx x a x x- = - . 所以 12
12
ln lnxxa xx
−= −
…........................…10 分
要证 12
2xx a+>，只需证 12( ) 2a x x+>,
即证 12
12
12
ln ln ( ) 2xxxxxx
− + −
，即 ( )121
2 1 2
2ln xxx
x x x
-> + . …………………11 分
令 1
2
1xt x=>，于是 ( ) ( )121
2 1 2
2 2 1ln ln 1
x x tx tx x x t
−− ++
， …………………12 分
设函数 ( ) ( ) ( )21ln 11
th t t tt
-= - >+
，求导得 ( ) ( )
( )
( )
2
22
114 0
11
tht t t t t
− = − =
++
，
所以函数 ( )ht是( )1, + 上的增函数，
所以 ( ) ( )10h t h=，即不等式 ( )21ln 1
tt t
-> +
成立， 故所证不等式 12
2xx a+成立. …………………………………………………14 分
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