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天水市一中2019届高三第七次模拟考试
数学试题（文）
（满分：150分 时间：120分钟）
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A. B. C. D.
2．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数
3．若向量，则与共线的向量可以是（ ）
A.（，-1） B.（-1，） C.（-，-1） D.（）
4．，则与位置关系是 ( )
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交
5．空气质量指数AQI是反映空气状况的指数, AQI指数值越小, 表明空气质量越好, 下图是某市10月1日 - 20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是
A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B.这20天中的中度污染及以上（AQI指数>150）的天数占1/4
C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A． B．4 C． D．2
8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为
A. B. C. D.
9．若直线y=kx-2与曲线y=1+3lnx相切,则k=( )
A.2 B. C.3 D.
10．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A． B．2 C．3 D．6
11.已知数列对任意的有成立,若,则 等于( )
A. B. C. D.
12.在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在甲、乙、丙、丁名同学中选出两名代表，则甲当选的概率为 .
14．若实数满足，则的最小值为 .
15．已知，则 .
16．已知点是抛物线的焦点， ， 是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一） 必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）已知中，，，D是AB上一点.
（1）若，求的长；
（2）若，BD=3AD，求的值.
18．（本小题满分12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
10
50
个体经营户
100
50
150
合计
140
60
200
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
附：
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
19．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在x轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于两点，若对满足条件的任意直线，不等式 恒成立，求的最小值.
20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的点.
(1)证明：；
(2)若，求到平面的距离.
21．（本小题满分12分）设函数，其中．
（Ⅰ）当m=0时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是 (为参数)，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线与曲线交于， 两点，与轴交于点，求.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
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天水市一中2019届高三第七次模拟考试
数学答案（文）
1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11.B 12.A
13．1/2 14.-6 15．-1 16．．
三、解答题：
17．（1）由，
在中，由余弦定理可得：
6分
（2） 由
在中，由正弦定理可知
在中，由正弦定理可知
故 12分
18.（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）. 5分
(2）将列联表中的数据代入公式计算得
，
所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． 12分
19．（1）由已知得： ，解得
所以，椭圆的方程为 4分
（2）设
当直线垂直于轴时，且
此时， 6分
当直线不垂直于轴时，设直线
由 ，得 ，
8分
.
要使恒成立，只需，即最小值为. 12分
20（1）证明：取的中点为，连结，，
在等边三角形中，有，
由是的中点，是的中位线，所以，
因为，所以，又，所以平面，
因为平面，所以. 5分
（2）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
在等腰直角中，，，所以，，
因为是的中点，所以，又因为，
在中，，
在中，，，故.
设到平面的距离为，因为，所以，即，
所以到平面的距离为. 12分
21． （Ⅰ）. 此时，则.
由，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增.
所以有极小值，有极大值. 5分
（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 6分
对函数求导，得. 由，解得，.
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，，，10分
所以当或时，
直线与曲线，有且只有两个公共点.
即当或时，函数在区间上有两个零点. 12分
22．(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；
由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0. 5分
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 10分
23．（Ⅰ）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为. 5分
（Ⅱ）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是. 10分
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