湖南省衡阳市第八中学2019届高三第12次月考试题（5月）数学（理）Word版含答案.doc

衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题 理科数学 命题：廖洪波、徐五洲 审题：彭 韬 考试时间：2019年5月30日15:00——17:00 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，集合，则集合 A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知，且都不为（），则“”是“关于的不等式与同解”的 A．充要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充分不必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4. 执行如图的算法程序，若输出的结果为，则横线处应填入 A． B． C． D．‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 正（主）视图 ‎ ‎ ‎1‎ ‎1‎ 俯视图 侧（左）视图 ‎2‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织尺布，现有一月（按天计），共织尺布”，则该女最后一天织多少尺布？‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设设函数，则函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎8．若多项式，则 A． B． C． D．‎ ‎9. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，且，则的一个可能值为 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，则不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎11. 已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为，则 A. B. C. D. ‎ ‎12．已知线段是过抛物线（）的焦点的一条弦，过点（在第一象限内）作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，直线与抛物线相切于点，交轴于点， 给出下列命题：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ 其中正确的命题个数为 A. B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13．已知，，若，则__________.‎ ‎14．若满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎15．从六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有__________个这样的四位奇数（用数字填写答案）.‎ ‎16．在中，为的重心，，，则面积的最大值为_________.‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17．(本小题满分12分) 设是等比数列，公比，其前项和为（），是等差数列．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎19．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中，抛物线：与直线：交于两点.‎ ‎（Ⅰ）设到轴的距离分别为，证明：和的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）轴上是否存在点，当变化时，总有？ 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎20．(本小题满分12分) 为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：‎ 组别 频数 ‎（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；‎ ‎（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：‎ ‎（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；‎ ‎（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元）‎ 概率 现市民小明要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．‎ 附：①；②若，则，，.‎ ‎21. (本小题满分12分) 已知函数，（）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围． ‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）已知射线（）分别与曲线交于点（点异于坐标原点），求线段的长.‎ ‎23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲]‎ 已知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ 衡阳市八中2019届高三第十二次月考试题 理科数学 参考答案 命题：廖洪波、徐五洲 审题：彭 韬 考试时间：2019年5月30日15:00——17:00 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14．（或） 15． 16．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17． （Ⅰ）解：由可得.‎ 因为，可得，故.‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 设等差数列的公差为，由，可得 由，可得， 从而， 故 ‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），有，所以 ‎，‎ 故 ‎．‎ ‎【（2）另解：错位相减法】‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎18．（1）证明：取中点，连结，，，‎ 因为底面为菱形，，‎ 所以．‎ 因为为的中点，‎ 所以．………………………………1分 在△中，， 为的中点，‎ 所以．‎ 设，则，，‎ 因为，所以．……………………2分 ‎【2分段另证：在△中，，为的中点，所以．‎ 在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．‎ 所以．所以．】‎ 因为，平面，平面，‎ 所以平面．………………………………………………………………3分 因为平面，‎ 所以平面平面．……………………………………………………4分 ‎（2）解法1：因为，，，平面，平面，‎ 所以平面．‎ 所以． ‎ 由（1）得，，‎ 所以，，所在的直线两两互相垂直．‎ ‎……………………5分 以为坐标原点，分别以，，‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．………………………………………………………6分 设，则，，，，……………7分 所以，，，……………8分 设平面的法向量为，‎ 则 令，则，，‎ 所以．………………………………………………………………9分 设平面的法向量为，‎ 则 令，则，，‎ 所以．…………………………………………………………………10分 设二面角为，由于为锐角，‎ 所以…………………………………………………11分 ‎．‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………………………12分 解法2：因为，，，平面，平面，‎ 所以平面．‎ 所以．………………………………………………………………………5分 所以，．‎ 过点作，为垂足，‎ 过点作交于点，连接，……6分 因为，，‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 所以，即．‎ 所以为二面角的平面角．………7分 在等腰△中，，，‎ 根据等面积法可以求得．………………………………………………8分 进而可以求得，‎ 所以，．……………………………………………………9分 在△中，，，，‎ 所以．‎ 在△中，，，，‎ 所以，即．……10分 在△中，，，，‎ 所以…………………………………………11分 ‎．‎ 所以二面角的余弦值为．……………………………………12分 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎19.（Ⅰ）证明：设，，则联立，得．…………………………………………………………………………2分 ‎，，．…………3分 所以为定值．………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解：存在符合题意的点．证明如下：‎ 设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，．由（1）知．………………………………………………………………………………5分 从而………………………………………………………………7分 ‎…………………………………………………………………8分 ‎．………………………………………………………………………9分 当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补． ……11分 故，所以点符合题意．………………………………………12分 评分细则：‎ 第（1）问中，直线方程与抛物线方程联立正确得2分，两根之和对（1）问无贡献，若第（2）问未写，而第（1）问写了，应给1分．‎ 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎20. 【解析】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得 ‎，‎ 又，，‎ ‎. ………………………………5分 ‎（2）由条件，，的可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎. …………………………………12分 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎21. 解：(Ⅰ) , ‎ ‎,所求切线方程为 ………4分 ‎(Ⅱ)令 ① 当时，，时，；时，‎ 在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎，即 ………7分 ② 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，‎ 则，解得 ………9分 ③ 当时，，在上是增函数，‎ ‎，成立 ………10分 ④ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，‎ 则，解得 ‎ 综上，实数的取值范围为 ………12分 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎22. 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得. 又，代入得的极坐标方程为， ………………………………5分 由曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆，可得其极坐标方程为，从而得的普通方程为.‎ ‎（2）将（）代入得.‎ 又将（）代入得 故. ………………………………10分 理科数学试题 第 16 页 共 16 页 ‎23. 【解析】（Ⅰ）当时，，‎ 由得，‎ 上述不等式可化为 或 或，‎ 解得 或 或 ‎ 或 或 原不等式的解集为. ………………………………5分 ‎（Ⅱ）的解集包含集合，‎ 当时，不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎，即，，‎ 在上恒成立 ‎，，的取值范围是. ………10分 理科数学试题 第 16 页 共 16 页