益阳市箴言中学第十次月考试题(教师版）.doc

益阳市箴言中学第十次月考试题 数学（文科）‎ ‎ 时间：120分钟，满分150分 选择题：(每小题5分共60分，每个小题只有一个答案正确的，请将正确答案填图到答题卡上）‎ ‎1. 已知为实数集，集合，则（ ） D ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知i为虚数单位，复数,则复数对应的点位于（ ）D A.第一象限 B.第 二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 一栋商品大楼有7层高，甲乙两人同时从一楼进入了电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人在不同层离开的概率为（ ）C A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知数列{an}满足, ，则（ ）C ‎ A. B. ‎16 C.32 D. ‎ 解析　由，得所以an＋1＝2an，,,选C ‎5.已知双曲线的渐进线与圆相交于A,B两点，，则双曲线的离心率为（ ）A A. B. C. D. ‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）答案B 开始 s=0,n=1,a=3‎ S=S+a n=n+1‎ a=a+2‎ 结束 输出S 否 是 A. B. C. D. ‎ 侧视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 正视图 俯视图 ‎1‎ ‎ ‎ ‎7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是80，则判断框中应该填(　　)‎ A．　　B． C．　 D．‎ 答案：选D D A B C F E ‎8.如图所示，在正方形中，AB=2，为的中点，为的中点，则（ ）C A． B． C． D．‎ ‎9. 已知实数满足 ，则的大小关系是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 由图像可知：成立，选C ‎10. 将函数 (x∈R)的图象向左平移个单位长度后得到图象，若在上单调递减，则的取值范围为(　　)答案：C A. B． C. D．‎ ‎11.已知定义在R上的函数满足，则关于的不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：A ‎12. 已知函数，若，且，则的取值范围为（ ）答案：【B】‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 在等差数列中，是表示数列的前项和，已知，则 【15】‎ ‎14. 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，，则曲线y＝f(x)在点(1，-1)处的切线方程是________.‎ 设x>0，则－x0时，f(x)＝ex－1-2x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1-2，f′(1)＝e0-2＝-1.‎ 则曲线y＝f(x)在点(1，-1)处的切线的斜率为f′(1)＝-1，所以切线方程为y+1＝-(x－1)，即x+y＝0.‎ ‎15. 已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1中，且，直线与平面所成角为，则此三棱柱的外接球 的表面积为 【】‎ ‎16. 已知点，是椭圆内的两个点，点是椭圆上的动点，则的取值范围为 ‎ 三．解答题：‎ ‎17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ (1)若求的值；‎ ‎(2) )若，M为AC上一点，且，且, 求的长。‎ 解：　(1)由已知得sin ‎2A＋sin 2B-sin‎2C=-sin Bsin A，由正弦定理得，‎ ‎∴C＝π. ，‎ ‎（2），所以，，由 ，所以，又 所以，在三角形BCM中由余弦定理得 ‎，所以 ‎18. 如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，，AB=BC=2AD=4，是等边三角形，且，E是PB中点，点M在棱PC上。‎ ‎（1）求证：‎ M A B C D P E ‎（2）若三棱锥C-MDB的体积为，且，求实数的值。‎ 证明：（1）因为梯形ABCD中，AD//BC，，‎ 所以，又，所以 所以，因为是等边三角形，所以 ‎，所以，所以……5分 ‎（2）过P做，连接CF，易知，因为是等边三角形，AB=4，‎ 过M做，则MN//CF，，‎ ‎，所以 又，所以所以所以……12分 ‎19. 中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期。其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸。宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等。某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀=100张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如下表所示：‎ ‎ ‎ 的范围 质量等级 副 牌 正牌 废 品 质量指标 ‎40‎ ‎44‎ ‎48‎ ‎52‎ ‎56‎ ‎60‎ O 在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为-20元。‎ ‎（Ⅰ）试估计该公司的年利润；‎ ‎（Ⅱ）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：‎ 的范围 频率 ‎0.6827‎ ‎0.9545‎ 其中为质量指标的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由。（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）‎ 解:（1）由频率分布直方图可知：一刀宣纸有正牌100X0.1X4=40(张)，有副牌100x0.05X4X2=40（张），有废品100x0.025X4x2=20(张)，所以该公司一刀宣纸的利润估计值为40X15+40X8-20X20=520元。所以该公司一年的利润估计值为520万元。……………6分 ‎（2）由频率分布直方图可知：；这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示： ‎ 的范围 频率 ‎0.6827‎ ‎0.9545‎ ‎……………8分 所以一刀宣纸中正牌的张数估计为100X0.6827=68.27.‎ 废品的张数估计为：100X（1-0.9545）=4.55;‎ 副牌的张数为：100X（0.9545—0.6827）=27.18；……………9分 所以一刀宣纸的利润为：68.27X12+27.18X5-4.55X20=819.24+135.9-91=864.14（元）‎ 所以，公司改进后该公司利润为：864.14-100=764.14（万元）；……………11分 由于764.14万元>520万元，所以建议该公司购买这种机器。………………12分 ‎20. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；‎ ‎(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．‎ 解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，‎ 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.　①‎ ‎(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，‎ ‎∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.‎ ‎(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，‎ 联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．‎ ‎|AB|＝|x2－x1|＝＝，‎ 点N到直线AB的距离d＝＝，‎ 则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，‎ ‎∵△ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)若在处取得极值，求实数a的值，并求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，，求实数的取值范围。‎ 解：（1），依题意得：，所以，；此时 设，，所以在是增函数，‎ 当，即，是减函数；‎ 当，即，是增函数；‎ 所以的递增区间为，递减区间为……5分 ‎（2），‎ ‎（ⅰ）当时，，在为增函数，所以，不等式成立，所以符合题意；……7分 ‎（ⅱ）当时，，，所以， 在为增函数，‎ 所以，不等式成立，所以符合题意；……9分 ‎（ⅲ）当时，，，所以存在使，当，‎ ‎，所以，所以不等式不成立，所以不合题意；……11分 综上：，即……12分 ‎22. 选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，P是曲线C上异于A,B的任意点求三角形面积的最大值.‎ 解　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，‎ ‎∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，‎ 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.‎ ‎(2)设A，B两点的极坐标分别为，，‎ 由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，‎ 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，‎ ‎∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，‎ ‎∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.点P到直线l的最大距离为4+2sin300=5,‎ 所以三角形ABP的最大值为：‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式成立，求实数的取值范围．‎ 解：(1)当时,，由解得 ……………………………5分 （2） ‎, ‎ 时，使得 不等式恒成立 ……………7分 不等式恒成立，‎ ‎， ……………………………9分 又 …………………………… 10分