2018中考数学试题分类汇编：考点15 反比例函数
一．选择题（共21小题）
1．（2018•玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【分析】根据一次函数的定义，可得答案．
【解答】解：设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
y=﹣x+90°，
故选：B．
2．（2018•怀化）函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx﹣3和y=（k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：∵当k＞0时，y=kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，
当k＜0时，y=kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
3．（2018•永州）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
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【解答】解：A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：D．
4．（2018•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，
54
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
5．（2018•大庆）在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
6．（2018•香坊区）对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y=得﹣1=﹣1，故A选项正确；
B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C．
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7．（2018•衡阳）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
8．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a=±2
【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．
【解答】解：由题意可得：|a|﹣2≠0，
解得：a≠±2，
故选：C．
9．（2018•德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
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②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
故选：B．
10．（2018•嘉兴）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，
∴点C（﹣a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴=1，
解得，k=4，
故选：D．
11．（2018•温州）如图，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为，即可解答．
【解答】解：∵点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC=k﹣1，BD=，
∴S△OAC=（k﹣1）×1=，S△ABD=•×（2﹣1）=，
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴，
解得：k=3．
故选：B．
12．（2018•宁波）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
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A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，
∴k1﹣k2=8．
故选：A．
13．（2018•郴州）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．
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【解答】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A（2，2），
当x=4时，y=1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=2．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3．
故选：B．
14．（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：y=的k=﹣2＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0．
∴n＜0＜m，
54
即m＞n，
故D正确；
故选：D．
15．（2018•淮安）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y=，得
k=﹣2×3=﹣6，
故选：A．
16．（2018•岳阳）在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知y=x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求x3．
【解答】解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3=
∴ω=x1+x2+x3=x3=
故选：D．
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17．（2018•遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=，进而得出S△AOD=2，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴=tan30°=，
∴=，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∴S△AOD=2，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选：C．
54
18．（2018•湖州）如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．
【解答】解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，
∵点M的坐标是（1，2），
∴点N的坐标是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
19．（2018•江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（ ）
A．两直线中总有一条与双曲线相交
B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧
D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2
【分析】A、由m、m+2不同时为零，可得出：两直线中总有一条与双曲线相交；
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B、找出当m=1时两直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式可得出：当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；
C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，可得出：当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；
D、由y与x之间一一对应结合两交点横坐标之差为2，可得出：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．此题得解．
【解答】解：A、∵m、m+2不同时为零，
∴两直线中总有一条与双曲线相交；
B、当m=1时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
当x=1时，y==3，
∴直线l1与双曲线的交点坐标为（1，3）；
当x=3时，y==1，
∴直线l2与双曲线的交点坐标为（3，1）．
∵=，
∴当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；
C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，
∴当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；
D、∵m+2﹣m=2，且y与x之间一一对应，
∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．
故选：D．
20．（2018•铜仁市）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）
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A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
21．（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3
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时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内
【分析】利用图中信息一一判断即可；
【解答】解：A、正确．不符合题意．
B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；
C、y=5时，x=2.5或24，24﹣2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
D、正确．不符合题意，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
22．（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
23．（2018•齐齐哈尔）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是 1 ．（写出满足条件的一个k的值即可）
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则可知2﹣k＞0，解得k的取值范围，写出一个符合题意的k即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，
则2﹣k＞0，
故k＜2，满足条件的k可以为1，
故答案为：1．
54
24．（2018•连云港）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为 y1＜y2 ．
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣，﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，﹣4＜﹣1，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
25．（2018•南京）已知反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），则k= 3 ．
【分析】根据反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），可以求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣1），
∴﹣1=，
解得，k=3，
故答案为：3．
26．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为 ．
【分析】设反比例函数的表达式为y=，依据反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式为．
【解答】解：设反比例函数的表达式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），
∴k=m2=﹣2m，
解得m1=﹣2，m2=0（舍去），
∴k=4，
54
∴反比例函数的表达式为．
故答案为：．
27．（2018•东营）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 y= ．
【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
【解答】解：设A坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），
设过点A的反比例解析式为y=，
把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点A的反比例解析式为y=，
故答案为：y=
28．（2018•成都）设双曲线y=（k＞0）与直线y=x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y=（k＞0）的眸径为6时，k的值为 ．
54
【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，
∴OP=3，点P的坐标为（﹣，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，
∴点P′的坐标为（﹣+2， +2）．
又∵点P′在双曲线y=上，
∴（﹣+2）•（+2）=k，
解得：k=．
故答案为：．
54
29．（2018•安顺）如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是 ②③④ ．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得到﹣2m=n故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确．
【解答】解：由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①错误；
把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，
∴m+n=0，故②正确；
54
把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，
∴，
∵﹣2m=n，
∴y=﹣mx﹣m，
∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S△AOP=m，S△BOQ=m，
∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；
由图象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确；
故答案为：②③④．
30．（2018•安徽）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 y=x﹣3 ．
【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），
∴2m=6，
解得：m=3，
54
故A（2，3），
则3=2k，
解得：k=，
故正比例函数解析式为：y=x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，
∴B（2，0），
∴设平移后的解析式为：y=x+b，
则0=3+b，
解得：b=﹣3，
故直线l对应的函数表达式是：y=x﹣3．
故答案为：y=x﹣3．
三．解答题（共20小题）
31．（2018•贵港）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3．
【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣×6+4=1，
54
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数y=过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．
32．（2018•泰安）如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y=的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；
（2）若AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式．
【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，E点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得m的值，可得答案．
【解答】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD=3，AB=8，E为CD的中点，
∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），
函数图象经过E点，
∴m=﹣3×4=﹣12，
设AE的解析式为y=kx+b，
，
解得，
54
一次函数的解析是为y=﹣x；
（2）AD=3，DE=4，
∴AE==5，
∵AF﹣AE=2，
∴AF=7，
BF=1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），
∵E，F两点在函数y=图象上，
∴4a=a﹣3，解得a=﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴m=﹣1×4=﹣4，
∴y=﹣．
33．（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
（2）作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6
54
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）设B点坐标为（a，b），如图，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）
∴b=
∴AD=3﹣．
∴S△ABC=BC•AD
=a（3﹣）=6
解得a=6
∴b==1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得
，
解得，
直线AB的解析式为y=﹣x+4．
34．（2018•柳州）如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（﹣，n）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
54
（2）求n的值及该一次函数的解析式．
【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过A（3，1），即可得到反比例函数的解析式为y=；
（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得n=﹣6，把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得一次函数的解析式为y=2x﹣5．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得
﹣n=3，
解得n=﹣6，
∴B（﹣，﹣6），
把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y=2x﹣5．
54
35．（2018•白银）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y=﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y=求k．
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数y=
∴k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=﹣
（2）联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y=x+4=0时，得x=﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵S△ACP=S△BOC
∴
54
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
36．（2018•菏泽）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．
（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．
【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．
【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．
∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴a=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的表达式为y=﹣．
将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，
54
，解得：，
∴一次函数的表达式为y=x﹣2．
（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得： x2﹣2x+6=0，
∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．
37．（2018•湘西州）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；
54
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=；
把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，
∴B点坐标为（3，1）；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），
∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时此时PA+PB的值最小，
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，
当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，
∴P点坐标为（，0）．
38．（2018•大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
54
（3）求△OAP的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
54
由可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
39．（2018•枣庄）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
54
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
40．（2018•杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．
（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．
【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式；
（2）根据（1）中的解析式可以求得a的值；
（3）根据题意可以判断m的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，
54
∴，得，
即该一次函数的表达式是y=2x+1；
（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y=2x+1的图象上，
∴a2=2（2a+2）+1，
解得，a=﹣1或a=5，
即a的值是﹣1或5；
（3）反比例函数y=的图象在第一、三象限，
理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y=2x+1的图象上，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），
假设x1＜x2，则y1＜y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
假设x1＞x2，则y1＞y1，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
由上可得，m＞0，
∴m+1＞0，
∴反比例函数y=的图象在第一、三象限．
41．（2018•杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：100=vt，
则v=；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则v≥=20，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
54
42．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=
得：18=
∴k=18
设h=at2，把t=1，h=5代入
∴a=5
∴h=5t2
（2）∵v=5，AB=1
∴x=5t+1
∵h=5t2，OB=18
54
∴y=﹣5t2+18
由x=5t+1
则t=
∴y=﹣
当y=13时，13=﹣
解得x=6或﹣4
∵x≥1
∴x=6
把x=6代入y=
y=3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
43．（2018•黄冈）如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．
54
【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y=求得k的值，然后将x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标；
（2）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．
【解答】解：（1）把点A（3，4）代入y=（x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y=．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y=，得
y==6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA﹣yD=yB﹣yC即4﹣yD=2﹣0，故yD=2．
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA=yB﹣yC即yD﹣4=2﹣0，故yD′=6．
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
54
∴xD″﹣xB=xC﹣xA即xD″﹣6=6﹣3，故xD″=9．
yD″﹣yB=yC﹣yA即yD″﹣2=0﹣4，故yD″=﹣2．
所以D″（9，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．
44．（2018•黔南州）如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是 s，此时点Q的运动距离是 cm；
（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为 6 cm；
（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．
【分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；
（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；
（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论．
54
【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴OA=BC=16，
∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，
∴t=，此时，点Q的运动距离是×2=cm，
故答案为，；
（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，
过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE=AB=6，BE=6，
∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，
根据勾股定理得，PQ=6，
故答案为6；
（3）设运动时间为t秒时，
由运动知，AP=3t，CQ=2t，
同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10cm，
∴62+（16﹣5t）2=100，
∴t=或t=；
（4）k的值是不会变化，
理由：∵四边形AOCB是矩形，
∴OC=AB=6，OA=16，
∴C（6，0），A（0，16），
∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①，
设运动时间为t，
∴AP=3t，CQ=2t，
54
∴OP=16﹣3t，
∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），
∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②，
联立①②解得，x=，y=，
∴D（，），
∴k=×=是定值．
45．（2018•达州）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．
54
【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例y=函数图象上，
∴k=4×=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵E点的坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣=，
在Rt△CEF中，tan∠EFC==，
（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
54
∴△EHG∽△GBF，
∴=，
∴，
∴BG=，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（）2﹣（）2=，
∴k=，
∴反比例函数解析式为y=．
46．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
54
【分析】（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n
解得
∴y2=x﹣2
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO
54
∵O为AA′中点
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴
解得k=6
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）
把A′代入到y=
﹣
∴n=
∴A′B解析式为y=﹣
当x=a时，点D纵坐标为
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y1═（x＞0）的图象上
47．（2018•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
54
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a=（3+a），清楚a即可；
（3）分两种情形：①如图2中，当∠PA1D=90°时．②如图3中，当∠PDA1=90°时．分别构建方程解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°﹣60°=30°，
∴CE=1，DE=，
∴OE=OB+BC+CE=5，
54
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a=（3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当∠PA1D=90°时．
∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，
∴AA1==4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，
∴PA=，
∴PB=，
设P（m，），则D1（m+7，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
54
∴m=（m+7），
解得m=3，
∴P（3，），
∴k=10．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．
∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴=．
∴=，∵∠AKD=∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，
∴∠APD=∠ADP=30°，
∴AP=AD=2，AA1=6，
设P（m，4），则D1（m+9，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴4m=（m+9），
解得m=3，
∴P（3，4），
∴k=12．
54
48．（2018•金华）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（4，），进而得出A（4﹣t， +t），即：（4﹣t）（+t）=m，即可得出点D（4，8﹣），即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1，∵m=4，
∴反比例函数为y=，
当x=4时，y=1，
∴B（4，1），
当y=2时，
∴2=，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
54
∴，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，由①知，B（4，1），
∵BD∥y轴，
∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y=3时，由y=得，x=，
由y=得，x=，
∴PA=4﹣=，PC=﹣4=，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=4时，y==，
∴B（4，），
∴A（4﹣t， +t），C（4+t， +t），
∴（4﹣t）（+t）=m，
54
∴t=4﹣，
∴C（8﹣，4），
∴（8﹣）×4=n，
∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为+2t=+2（4﹣）=8﹣，
∴D（4，8﹣），
∴4（8﹣）=n，
∴m+n=32．
54
49．（2018•武汉）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y=经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△
54
D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；
【解答】解：（1）①如图1﹣1中，
由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，
∴C（1，3）．
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），
∵点C在y=上，
∴t（t+2）=8，
∴t=﹣4 或2，
（2）如图2中，
①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
54
∴m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB=OH，AB=D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y=﹣上，
∴mn=﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．
50．（2018•长沙）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；
（2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出==，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；
（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中；
【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，
54
解得，
∴y=﹣x+m+!，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a，），
∵△OPM∽△OCP，
∴==，
∴OP2=OC•OM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM=，
∴=，
∴10=4，
∴4a4﹣25a2+36=0，
（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，
∴a=±，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=或2，
当a=时，M（，2），
PM=，CP=，
≠（舍弃），
54
当a=2时，M（2，），PM=，CP=，
∴==，成立，
∴M（2，）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），
OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（，），F（x， x），
S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
=5﹣•x•x﹣••=4.1，
化简得到：x4﹣9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
54
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
54
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