2018中考数学试题分类汇编考点21全等三角形（含解析）.doc

‎2018中考数学试题分类汇编：考点21 全等三角形 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）‎ A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD ‎【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，‎ A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；‎ B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）‎ A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 ‎【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．‎ ‎【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：‎ 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，‎ 所以乙和△ABC全等；‎ 在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，‎ 28‎ 所以丙和△ABC全等；‎ 不能判定甲与△ABC全等；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）‎ A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C ‎【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；‎ C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；‎ D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，‎ B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）‎ A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c 28‎ ‎【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；‎ ‎【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，‎ ‎∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，‎ ‎∴∠A=∠C，∵AB=CD，‎ ‎∴△ABF≌△CDE，‎ ‎∴AF=CE=a，BF=DE=b，‎ ‎∵EF=c，‎ ‎∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）‎ A． B．‎2 ‎C．2 D．‎ ‎【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．‎ ‎【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，‎ ‎∴∠E=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠EBC+∠BCE=90°．‎ ‎∵∠BCE+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠EBC=∠DCA．‎ 在△CEB和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△CEB≌△ADC（AAS），‎ ‎∴BE=DC=1，CE=AD=3．‎ 28‎ ‎∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）‎ A．115 B．‎120 ‎C．125 D．130‎ ‎【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．‎ ‎【解答】解：∵正三角形ACD，‎ ‎∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，‎ ‎∵AB=DE，BC=AE，‎ ‎∴△ABC≌△AED，‎ ‎∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，‎ ‎∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）‎ 28‎ A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC ‎【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；‎ B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；‎ C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；‎ D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　）‎ A．15 B．‎12.5 ‎C．14.5 D．17‎ ‎【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，‎ ‎∵∠DAB=∠DCB=90°，‎ ‎∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，‎ ‎∴∠D=∠ABE，‎ 又∵∠DAB=∠CAE=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠EAB，‎ 又∵AD=AB，‎ 28‎ ‎∴△ACD≌△AEB，‎ ‎∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，‎ ‎∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，‎ ‎∵S△ACE=×5×5=12.5，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为12.5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）‎ A． B．‎3‎ C． D．3‎ ‎【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．‎ ‎∵∠ECD=∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ECA=∠DCB，‎ ‎∵CE=CD，CA=CB，‎ ‎∴△ECA≌△DCB，‎ ‎∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，‎ ‎∵∠EDC=45°，‎ 28‎ ‎∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，‎ 在Rt△ADB中，AB==2，‎ ‎∴AC=BC=2，‎ ‎∴S△ABC=×2×2=2，‎ ‎∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∵====，‎ ‎∴S△AOC=2×=3﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎10．（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　AC=BC　．‎ ‎【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．‎ ‎【解答】解：添加AC=BC，‎ ‎∵△ABC的两条高AD，BE，‎ ‎∴∠ADC=∠BEC=90°，‎ ‎∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，‎ ‎∴∠EBC=∠DAC，‎ 在△ADC和△BEC中，‎ 28‎ ‎∴△ADC≌△BEC（AAS），‎ 故答案为：AC=BC．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AB=ED　（只需写一个，不添加辅助线）．‎ ‎【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．‎ ‎【解答】解：添加AB=ED，‎ ‎∵BF=CE，‎ ‎∴BF+FC=CE+FC，‎ 即BC=EF，‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴∠B=∠E，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS），‎ 故答案为：AB=ED．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为　30°或110°　．‎ ‎【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．‎ ‎∵AB=AC，∠BAC=40°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=70°，‎ 28‎ ‎∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，‎ ‎∴△ABC≌△BAP，‎ ‎∴∠ABP=∠BAC=40°，‎ ‎∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，‎ 当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，‎ ‎∴∠P′BC=40°+70°=110°，‎ 故答案为30°或110°．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：‎ ‎①AC垂直平分BD；‎ ‎②四边形ABCD的面积S=AC•BD；‎ ‎③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；‎ ‎④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；‎ ‎⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．‎ 其中正确的是　①③④　．（写出所有正确判断的序号）‎ 28‎ ‎【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，进而得出EF=，再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤错误．‎ ‎【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，‎ ‎∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；‎ 四边形ABCD的面积S=，故②错误；‎ 当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；‎ 当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则 r2=（r﹣3）2+42，‎ 得r=，故④正确；‎ 将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，‎ 连接AF，设点F到直线AB的距离为h，‎ 由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，‎ ‎∴AO=EO=3，‎ ‎∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，‎ ‎∴DF==，‎ ‎∵BF⊥CD，BF∥AD，‎ ‎∴AD⊥CD，EF==，‎ 28‎ ‎∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，‎ ‎∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，‎ 解得h=，故⑤错误；‎ 故答案为：①③④．‎ ‎　‎ 三．解答题（共23小题）‎ ‎14．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．‎ ‎【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．‎ ‎【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EDC（ASA）．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．‎ ‎【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．‎ ‎【解答】证明：∵AC平分∠BAD，‎ 28‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，‎ 在△ABC和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC．‎ ‎　‎ ‎16．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．‎ ‎【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；‎ ‎【解答】证明：∵DA=BE，‎ ‎∴DE=AB，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SSS），‎ ‎∴∠C=∠F．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCE；‎ ‎（2）当AB=5时，求CD的长．‎ ‎【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．‎ ‎（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．‎ 28‎ ‎【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEB≌△DEC（SAS）．‎ ‎（2）解：∵△AEB≌△DEC，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∵AB=5，‎ ‎∴CD=5．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．‎ ‎（1）求证：△AEF≌△DEB；‎ ‎（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；‎ ‎（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．‎ ‎【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=DE，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，‎ ‎∴△AEF≌△DEB（AAS）；‎ 28‎ ‎（2）连接DF，‎ ‎∵AF∥CD，AF=CD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∵△AEF≌△DEB，‎ ‎∴BE=FE，‎ ‎∵AE=DE，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∴DF=AB，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴DF=AC，‎ ‎∴四边形ADCF是矩形．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．‎ ‎【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．‎ ‎【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ‎，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，‎ ‎∴BO=CO．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．‎ 28‎ 求证：∠C=∠E．‎ ‎【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．‎ ‎【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，‎ ‎∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS），‎ ‎∴∠C=∠E．‎ ‎　‎ ‎21．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．‎ 求证：AD与BE互相平分．‎ ‎【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．‎ ‎【解答】证明：如图，连接BD，AE，‎ ‎∵FB=CE，‎ ‎∴BC=EF，‎ 又∵AB∥ED，AC∥FD，‎ 28‎ ‎∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA），‎ ‎∴AB=DE，‎ 又∵AB∥DE，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形，‎ ‎∴AD与BE互相平分．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．‎ ‎（1）如图1，求证：AD=CD；‎ ‎（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．‎ ‎【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；‎ ‎（2）设DE=a，先得出AE=2DE=‎2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=‎2a，据此知S△ADC=‎2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=‎2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，‎ ‎∴∠ADE=∠CGF，‎ 28‎ ‎∵AC⊥BD、BF⊥CD，‎ ‎∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，‎ ‎∴∠DAE=∠GCF，‎ ‎∴AD=CD；‎ ‎（2）设DE=a，‎ 则AE=2DE=‎2a，EG=DE=a，‎ ‎∴S△ADE=AE•DE=•‎2a•a=a2，‎ ‎∵BH是△ABE的中线，‎ ‎∴AH=HE=a，‎ ‎∵AD=CD、AC⊥BD，‎ ‎∴CE=AE=‎2a，‎ 则S△ADC=AC•DE=•（‎2a+‎2a）•a=‎2a2=2S△ADE；‎ 在△ADE和△BGE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△BGE（ASA），‎ ‎∴BE=AE=‎2a，‎ ‎∴S△ABE=AE•BE=•（‎2a）•‎2a=‎2a2，‎ S△ACE=CE•BE=•（‎2a）•‎2a=‎2a2，‎ S△BHG=HG•BE=•（a+a）•‎2a=‎2a2，‎ 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．‎ 28‎ ‎【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．‎ ‎【解答】证明：∵BE=CF，‎ ‎∴BE+EF=CF+EF，‎ ‎∴BF=CE，‎ 在△ABF和△DCE中 ‎∴△ABF≌△DCE（SAS），‎ ‎∴∠GEF=∠GFE，‎ ‎∴EG=FG．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•咸宁）已知：∠AOB．‎ 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB ‎（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；‎ ‎（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；‎ ‎（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；‎ ‎（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．‎ 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．‎ ‎【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．‎ ‎【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，‎ 在△OCD和△O′C′D′中 ‎，‎ ‎∴△OCD≌△O′C′D′，‎ 28‎ ‎∴∠COD=∠C′O′D′，‎ 即∠A'O'B′=∠AOB．‎ ‎　‎ ‎25．（2018•安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．‎ ‎（1）求证：AF=DC；‎ ‎（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；‎ ‎（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；‎ ‎【解答】（1）证明：连接DF，‎ ‎∵E为AD的中点，‎ ‎∴AE=DE，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴∠AFE=∠DBE，‎ 在△AFE和△DBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFE≌△DBE（AAS），‎ ‎∴EF=BE，‎ ‎∵AE=DE，‎ ‎∴四边形AFDB是平行四边形，‎ ‎∴BD=AF，‎ ‎∵AD为中线，‎ ‎∴DC=BD，‎ ‎∴AF=DC；‎ ‎（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：‎ 28‎ ‎∵AF=DC，AF∥BC，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠CAB=90°，‎ ‎∵AD为中线，‎ ‎∴AD=BC=DC，‎ ‎∴平行四边形ADCF是菱形；‎ ‎　‎ ‎26．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．‎ ‎【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．‎ ‎【解答】证明：在△AED和△CEB中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△CEB（SAS），‎ ‎∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．‎ ‎　‎ ‎27．（2018•宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．‎ 28‎ ‎【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．‎ ‎【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠ACB=∠ACD．‎ 在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（AAS），‎ ‎∴CB=CD．‎ ‎　‎ ‎28．（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．‎ ‎【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；‎ ‎【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，‎ 28‎ 在△ACE和△BDF中，，‎ ‎∴△ACE≌△BDF（SSS）‎ ‎∴∠A=∠B，‎ ‎∴AE∥BF；‎ ‎　‎ ‎29．（2018•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．‎ ‎（1）求证：△AED≌△EBC．‎ ‎（2）当AB=6时，求CD的长．‎ ‎【分析】（1）利用ASA即可证明；‎ ‎（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD∥EC，‎ ‎∴∠A=∠BEC，‎ ‎∵E是AB中点，‎ ‎∴AE=EB，‎ ‎∵∠AED=∠B，‎ ‎∴△AED≌△EBC．‎ ‎（2）解：∵△AED≌△EBC，‎ ‎∴AD=EC，‎ ‎∵AD∥EC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AE，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴CD=AB=3．‎ ‎　‎ 28‎ ‎30．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；‎ ‎【解答】解：结论：DF=AE．‎ 理由：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠B，‎ ‎∵CE=BF，‎ ‎∴CF=BE，∵CD=AB，‎ ‎∴△CDF≌△BAE，‎ ‎∴DF=AE．‎ ‎　‎ ‎31．（2018•苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．‎ ‎【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥DE，‎ ‎∴∠A=∠D，‎ ‎∵AF=DC，‎ ‎∴AC=DF．‎ ‎∴在△ABC与△DEF中，‎ 28‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS），‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ ‎∴BC∥EF．‎ ‎　‎ ‎32．（2018•嘉兴）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．‎ ‎【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；‎ ‎【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，‎ ‎∴∠AED=∠CFD=90°，‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴AD=DC，‎ 在Rt△ADE和Rt△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CDF，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∴BA=BC，∵AB=AC，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎　‎ ‎33．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．‎ ‎（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；‎ ‎（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．‎ 28‎ ‎【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；‎ ‎（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．‎ ‎∵∠A=90°，AB=AC，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．‎ ‎∵点D为BC的中点，‎ ‎∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．‎ ‎∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，‎ ‎∴∠BDE=∠ADF．‎ 在△BDE和△ADF中，，‎ ‎∴△BDE≌△ADF（ASA），‎ ‎∴BE=AF；‎ ‎（2）BE=AF，证明如下：‎ 连接AD，如图②所示．‎ ‎∵∠ABD=∠BAD=45°，‎ ‎∴∠EBD=∠FAD=135°．‎ ‎∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，‎ ‎∴∠EDB=∠FDA．‎ 在△EDB和△FDA中，，‎ 28‎ ‎∴△EDB≌△FDA（ASA），‎ ‎∴BE=AF．‎ ‎　‎ ‎34．（2018•怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．‎ ‎【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；‎ ‎（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB∥DC，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ 在△ABE与△CDF中，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（ASA）；‎ ‎（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，‎ ‎∴ED=CD，‎ ‎∵EG=5，‎ 28‎ ‎∴CD=10，‎ ‎∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴AB=CD=10．‎ ‎　‎ ‎35．（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；‎ ‎（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；‎ ‎【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF．‎ ‎（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，‎ ‎∵△AOE≌△COF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∵AD=BC，‎ ‎∴DE=BF，∵DE∥BF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ ‎∵OB=OD，EF⊥BD，‎ 28‎ ‎∴EB=ED，‎ ‎∴四边形BEDF是菱形．‎ ‎　‎ ‎36．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．‎ ‎（1）求证：△ABC≌DEF；‎ ‎（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．‎ ‎【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．‎ ‎（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF ‎∴AC=DF 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SSS）‎ ‎（2）由（1）可知，∠F=∠ACB ‎∵∠A=55°，∠B=88°‎ ‎∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°‎ ‎∴∠F=∠ACB=37°‎ ‎　‎ 28‎