2018中考数学试题分类汇编考点24平行四边形（含解析）.doc

‎2018中考数学试题分类汇编：考点24 平行四边形 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，‎ ‎∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，‎ ‎∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，‎ ‎∴EO是△DBC的中位线，‎ ‎∴EO∥BC，‎ ‎∴∠1=∠ACB=40°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•宜宾）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．‎ ‎【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠BAD+∠ADC=180°，‎ ‎∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，‎ ‎∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，‎ ‎∴∠E=90°，‎ 20‎ ‎∴△ADE是直角三角形，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•黔南州）如图在▱ABCD中，已知AC=‎4cm，若△ACD的周长为‎13cm，则▱ABCD的周长为（　　）‎ A．‎26cm B．‎24cm C．‎20cm D．‎‎18cm ‎【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=‎9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．‎ ‎【解答】解：∵AC=‎4cm，若△ADC的周长为‎13cm，‎ ‎∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，‎ ‎∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=‎18cm．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•海南）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）‎ A．15 B．‎18 ‎C．21 D．24‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，‎ 20‎ ‎∴BC+CD=18，‎ ‎∵OD=OB，DE=EC，‎ ‎∴OE+DE=（BC+CD）=9，‎ ‎∵BD=12，‎ ‎∴OD=BD=6，‎ ‎∴△DOE的周长为9+6=15，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（　　）‎ A．20 B．‎16 ‎C．12 D．8‎ ‎【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵AE=EB，‎ ‎∴OE=BC，‎ ‎∵AE+EO=4，‎ ‎∴2AE+2EO=8，‎ ‎∴AB+BC=8，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•眉山）如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）‎ 20‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．‎ ‎∵CD=2AD，DF=FC，‎ ‎∴CF=CB，‎ ‎∴∠CFB=∠CBF，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠CFB=∠FBH，‎ ‎∴∠CBF=∠FBH，‎ ‎∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，‎ ‎∵DE∥CG，‎ ‎∴∠D=∠FCG，‎ ‎∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，‎ ‎∴△DFE≌△FCG，‎ ‎∴FE=FG，‎ ‎∵BE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EBG=90°，‎ ‎∴BF=EF=FG，故②正确，‎ ‎∵S△DFE=S△CFG，‎ ‎∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，‎ ‎∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，‎ 20‎ ‎∴CF=BH，∵CF∥BH，‎ ‎∴四边形BCFH是平行四边形，‎ ‎∵CF=BC，‎ ‎∴四边形BCFH是菱形，‎ ‎∴∠BFC=∠BFH，‎ ‎∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，‎ ‎∴FH⊥BE，‎ ‎∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，‎ ‎∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）‎ A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF ‎【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；‎ ‎【解答】解：正确选项是D．‎ 理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，‎ ‎∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，‎ ‎∴CD=BF，‎ ‎∵BF=AB，‎ ‎∴CD=AB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④‎ 20‎ AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．‎ ‎【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）‎ A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF ‎【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，‎ 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，‎ 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；‎ A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；‎ B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；‎ C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；‎ D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题）‎ 20‎ ‎10．（2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　14　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，‎ ‎∴△OCD的周长=5+4+5=14，‎ 故答案为14．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=　6　．‎ ‎【分析】根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．‎ ‎【解答】解：∵BD=CD，AB=CD，‎ ‎∴BD=BA，‎ 又∵AM⊥BD，DN⊥AB，‎ ‎∴DN=AM=3，‎ 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，‎ ‎∴∠P=∠PAM，‎ ‎∴△APM是等腰直角三角形，‎ ‎∴AP=AM=6，‎ 20‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•衡阳）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　16　．‎ ‎【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．‎ ‎【解答】解：∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵OM⊥AC，‎ ‎∴AM=MC．‎ ‎∴△CDM的周长=AD+CD=8，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．‎ 故答案为16．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　14　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∵AC+BD=16，‎ ‎∴OB+OC=8，‎ ‎∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，‎ 故答案为14．‎ 20‎ ‎　‎ ‎14．（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　4　．‎ ‎【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴AC==8，‎ ‎∴OC=4，‎ ‎∴OB==2，‎ ‎∴BD=2OB=4‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　2≤a+2b≤5　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．‎ 20‎ ‎【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，‎ ‎∵PD∥OY，PE∥OX，‎ ‎∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，‎ ‎∴EP=OD=a，‎ Rt△HEP中，∠EPH=30°，‎ ‎∴EH=EP=a，‎ ‎∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，‎ 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；‎ 当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，‎ ‎∴2≤a+2b≤5．‎ ‎　‎ 三．解答题（共12小题）‎ ‎16．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．‎ ‎【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，AD∥BC，‎ ‎∴∠OAE=∠OCF，‎ 在△OAE和△OCF中，‎ 20‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．‎ 求证：（1）△ADF≌△CBE；‎ ‎（2）EB∥DF．‎ ‎【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；‎ ‎（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AE=CF，‎ ‎∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．‎ 又ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CB，AD∥BC．‎ ‎∴∠DAF=∠BCE．‎ 在△ADF与△CBE中 ‎，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（SAS）．‎ ‎（2）∵△ADF≌△CBE，‎ ‎∴∠DFA=∠BEC．‎ ‎∴DF∥EB．‎ ‎　‎ 20‎ ‎18．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，‎ ‎∴∠E=∠F，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC，‎ 在△AGF和△CHE中 ‎，‎ ‎∴△AGF≌△CHE（ASA），‎ ‎∴AG=CH．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．‎ ‎（1）求证：AB=AF；‎ ‎（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；‎ ‎（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ 20‎ ‎∴∠AFC=∠DCG，‎ ‎∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，‎ ‎∴△AGF≌△DGC，‎ ‎∴AF=CD，‎ ‎∴AB=AF．‎ ‎（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．‎ 理由：∵AF=CD，AF∥CD，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=120°，‎ ‎∴∠FAG=60°，‎ ‎∵AB=AG=AF，‎ ‎∴△AFG是等边三角形，‎ ‎∴AG=GF，‎ ‎∵△AGF≌△DGC，‎ ‎∴FG=CG，∵AG=GD，‎ ‎∴AD=CF，‎ ‎∴四边形ACDF是矩形．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：在▱ABCD中，‎ AD=BC，∠A=∠C，‎ ‎∵E、F分别是边BC、AD的中点，‎ ‎∴AF=CE，‎ 20‎ 在△ABF与△CDE中，‎ ‎∴△ABF≌△CDE（SAS）‎ ‎∴∠ABF=∠CDE ‎　‎ ‎21．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，‎ ‎∴AO=CO，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAC=∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中 ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴AE=CF．‎ ‎　‎ ‎22．（2018•南通模拟）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF=AB；‎ ‎（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．‎ 20‎ ‎【分析】（1）欲证明AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC即可；‎ ‎（2）想办法证明AC=BD，BF=AC即可解决问题；‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴∠BAE=∠CFE ‎∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，‎ ‎∴△AEB≌△FEC，‎ ‎∴AB=CF．‎ ‎（2）连接AC．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∵AB=CF，AB∥CF，‎ ‎∴四边形ACFB是平行四边形，‎ ‎∴BF=AC，‎ ‎∴BD=BF．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：‎ ‎①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．‎ 请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：‎ 20‎ ‎①构造一个真命题，画图并给出证明；‎ ‎②构造一个假命题，举反例加以说明．‎ ‎【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．‎ ‎【解答】解：（1）①④为论断时：‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴△AOD≌△COB．‎ ‎∴AD=BC．‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．‎ ‎（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形CDEF的周长是‎25cm，AC的长为‎5cm，求线段AB的长度．‎ ‎【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；‎ 20‎ ‎（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；‎ ‎【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，‎ ‎∴ED是Rt△ABC的中位线，‎ ‎∴ED∥FC．BC=2DE，‎ 又 EF∥DC，‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎∴DC=EF，‎ ‎∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，‎ ‎∴AB=2DC，‎ ‎∴四边形DCFE的周长=AB+BC，‎ ‎∵四边形DCFE的周长为‎25cm，AC的长‎5cm，‎ ‎∴BC=25﹣AB，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，‎ 解得，AB=‎13cm，‎ ‎　‎ ‎25．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．‎ ‎【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，‎ 20‎ ‎∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．‎ ‎∵BE=CF，‎ ‎∴BE+CE=CF+CE，‎ ‎∴BC=EF．‎ 在△ABC和△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA），‎ ‎∴AB=DE．‎ 又∵AB∥DE，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎26．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，且AB=CD，‎ 又∵AE=CF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴BE∥DF且BE=DF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎27．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．‎ ‎（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；‎ ‎（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．‎ 20‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ 在等边△ABD中，∠BAD=60°，‎ ‎∴∠BAD=∠ABC=60°．‎ ‎∵E为AB的中点，‎ ‎∴AE=BE．‎ 又∵∠AEF=∠BEC，‎ ‎∴△AEF≌△BEC．‎ 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，‎ ‎∴CE=AB，BE=AB．‎ ‎∴CE=AE，‎ ‎∴∠EAC=∠ECA=30°，‎ ‎∴∠BCE=∠EBC=60°．‎ 又∵△AEF≌△BEC，‎ ‎∴∠AFE=∠BCE=60°．‎ 又∵∠D=60°，‎ ‎∴∠AFE=∠D=60°．‎ ‎∴FC∥BD．‎ 又∵∠BAD=∠ABC=60°，‎ 20‎ ‎∴AD∥BC，即FD∥BC．‎ ‎∴四边形BCFD是平行四边形．‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，‎ ‎∴BC=AB=3，AC=BC=3，‎ ‎∴S平行四边形BCFD=3×=9．‎ ‎　‎ 20‎