2018中考数学分类汇编--菱形(含解析)
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资料简介
‎2018中考数学试题分类汇编:考点27 菱形 一.选择题(共4小题)‎ ‎1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是(  )‎ A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 ‎【分析】根据菱形的性质即可判断;‎ ‎【解答】解:菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂直不一定相等,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为(  )‎ A. B.‎2‎ C.5 D.10‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ ‎∵BD=8,‎ ‎∴OB=4,‎ ‎∵tan∠ABD==,‎ ‎∴AO=3,‎ 在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB===5,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 18‎ ‎3.(2018•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是(  )‎ A.20 B.‎24 ‎C.40 D.48‎ ‎【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长.‎ ‎【解答】解:由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO,‎ 则AB==5,‎ 故这个菱形的周长L=4AB=20.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(  )‎ A.24 B.‎18 ‎C.12 D.9‎ ‎【分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.‎ ‎【解答】解:∵E是AC中点,‎ ‎∵EF∥BC,交AB于点F,‎ 18‎ ‎∴EF是△ABC的中位线,‎ ‎∴EF=BC,‎ ‎∴BC=6,‎ ‎∴菱形ABCD的周长是4×6=24.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎5.(2018•香坊区)已知边长为5的菱形ABCD中,对角线AC长为6,点E在对角线BD上且tan∠EAC=,则BE的长为 3或5 .‎ ‎【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.‎ ‎【解答】解:当点E在对角线交点左侧时,如图1所示:‎ ‎∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,‎ ‎∴AC⊥BD,BO=,‎ ‎∵tan∠EAC==,‎ 解得:OE=1,‎ ‎∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3,‎ 当点E在对角线交点左侧时,如图2所示:‎ ‎∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,‎ ‎∴AC⊥BD,BO=,‎ 18‎ ‎∵tan∠EAC==,‎ 解得:OE=1,‎ ‎∴BE=BO﹣OE=4+1=5,‎ 故答案为:3或5;‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是 2 .‎ ‎【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.再解Rt△OAB,根据tan∠BAC==,求出OB=1,那么BD=2.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=6,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.‎ 在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,‎ ‎∴tan∠BAC==,‎ ‎∴OB=1,‎ ‎∴BD=2.‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结 MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为  .‎ ‎【分析】‎ 18‎ 延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.‎ ‎【解答】解:延长DM交CB的延长线于点H.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,‎ ‎∴∠ADM=∠H,‎ ‎∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,‎ ‎∴△ADM≌△BHM,‎ ‎∴AD=HB=2,‎ ‎∵EM⊥DH,‎ ‎∴EH=ED,设BE=x,‎ ‎∵AE⊥BC,‎ ‎∴AE⊥AD,‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°‎ ‎∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,‎ ‎∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,‎ ‎∴x=﹣1或﹣﹣1(舍弃),‎ ‎∴cosB==,‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (﹣5,4) .‎ ‎【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.‎ 18‎ ‎【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∴AD=5,‎ ‎∴由勾股定理知:OD===4,‎ ‎∴点C的坐标是:(﹣5,4).‎ 故答案为:(﹣5,4).‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA′B′C′,则点B的对应点B′的坐标为 (,﹣) .‎ ‎【分析】作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,根据菱形的性质得到∠AOB=30°,再根据旋转的性质得∠BOB′=75°,OB′=OB=2,则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,所以△OBH为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=,然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标.‎ ‎【解答】解:作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,如图,‎ ‎∵四边形OABC为菱形,‎ ‎∴∠AOC=180°﹣∠C=60°,OB平分∠AOC,‎ ‎∴∠AOB=30°,‎ ‎∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置,‎ ‎∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2,‎ 18‎ ‎∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,‎ ‎∴△OBH为等腰直角三角形,‎ ‎∴OH=B′H=OB′=,‎ ‎∴点B′的坐标为(,﹣).‎ 故答案为:(,﹣).‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD是菱形.‎ ‎【分析】根据菱形的判定方法即可判断.‎ ‎【解答】解:当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.‎ 故答案为AB=BC或AC⊥BD.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共10小题)‎ ‎11.(2018•柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.‎ ‎(1)求菱形ABCD的周长;‎ ‎(2)若AC=2,求BD的长.‎ ‎【分析】(1)由菱形的四边相等即可求出其周长;‎ ‎(2)利用勾股定理可求出BO的长,进而解答即可.‎ 18‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AB=2,‎ ‎∴菱形ABCD的周长=2×4=8;‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2‎ ‎∴AC⊥BD,AO=1,‎ ‎∴BO=,‎ ‎∴BD=2‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•遂宁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.‎ ‎【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;‎ ‎【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∵DE=BF,‎ ‎∴AE=CF,∵AE∥CF,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥EF,‎ ‎∴四边形AECF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•郴州)如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△‎ 18‎ BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形.‎ ‎【解答】证明:∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,‎ ‎∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,‎ 在△EOD和△FOB中,‎ ‎,‎ ‎∴△DOE≌△BOF(ASA);‎ ‎∴OE=OF,‎ 又∵OB=OD,‎ ‎∴四边形EBFD是平行四边形,‎ ‎∵EF⊥BD,‎ ‎∴四边形BFDE为菱形.‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:‎ ‎(1)∠BOD=∠C;‎ ‎(2)四边形OBCD是菱形.‎ ‎【分析】(1)延长AO到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可;‎ ‎(2)连接OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.‎ ‎【解答】证明:(1)‎ 18‎ 延长OA到E,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠ABO=∠BAO,‎ 又∠BOE=∠ABO+∠BAO,‎ ‎∴∠BOE=2∠BAO,‎ 同理∠DOE=2∠DAO,‎ ‎∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO)‎ 即∠BOD=2∠BAD,‎ 又∠C=2∠BAD,‎ ‎∴∠BOD=∠C;‎ ‎(2)连接OC,‎ ‎∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,‎ ‎∴△OBC≌△ODC,‎ ‎∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,‎ ‎∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,‎ ‎∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD,‎ 又∠BOD=∠BCD,‎ ‎∴∠BOC=∠BCO,‎ ‎∴BO=BC,‎ 又OB=OD,BC=CD,‎ ‎∴OB=BC=CD=DO,‎ ‎∴四边形OBCD是菱形.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•呼和浩特)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.‎ ‎(1)求证:△ABC≌△DEF;‎ ‎(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.‎ 18‎ ‎【分析】(1)根据SAS即可证明.‎ ‎(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB∥DE,‎ ‎∴∠A=∠D,‎ ‎∵AF=CD,‎ ‎∴AF+FC=CD+FC,‎ 即AC=DF,‎ ‎∵AB=DE,‎ ‎∴△ABC≌△DEF.‎ ‎(2)如图,连接AB交AD于O.‎ 在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,‎ ‎∴DF==5,‎ ‎∵四边形EFBC是菱形,‎ ‎∴BE⊥CF,'∴EO==,‎ ‎∴OF=OC==,‎ ‎∴CF=,‎ ‎∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=.‎ ‎ ‎ 18‎ ‎16.(2018•内江)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.‎ 求证:(1)△AED≌△CFD;‎ ‎(2)四边形ABCD是菱形.‎ ‎【分析】(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论;‎ ‎(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠A=∠C.‎ 在△AED与△CFD中,‎ ‎∴△AED≌△CFD(ASA);‎ ‎(2)由(1)知,△AED≌△CFD,则AD=CD.‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,CD.‎ ‎(1)求证:△ECG≌△GHD;‎ ‎(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.‎ ‎(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.‎ 18‎ ‎【分析】(1)依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据F是AD的中点,FG∥AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;‎ ‎(2)过点G作GP⊥AB于P,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC;‎ ‎(3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AECF是平行四边形,即可得到四边形AEGF是菱形.‎ ‎【解答】解:(1)∵AF=FG,‎ ‎∴∠FAG=∠FGA,‎ ‎∵AG平分∠CAB,‎ ‎∴∠CAG=∠FGA,‎ ‎∴∠CAG=∠FGA,‎ ‎∴AC∥FG,‎ ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴FG⊥DE,‎ ‎∵FG⊥BC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴AC⊥BC,‎ ‎∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,‎ ‎∵F是AD的中点,FG∥AE,‎ ‎∴H是ED的中点,‎ ‎∴FG是线段ED的垂直平分线,‎ ‎∴GE=GD,∠GDE=∠GED,‎ ‎∴∠CGE=∠GDE,‎ ‎∴△ECG≌△GHD;‎ 18‎ ‎(2)证明:过点G作GP⊥AB于P,‎ ‎∴GC=GP,而AG=AG,‎ ‎∴△CAG≌△PAG,‎ ‎∴AC=AP,‎ 由(1)可得EG=DG,‎ ‎∴Rt△ECG≌Rt△GPD,‎ ‎∴EC=PD,‎ ‎∴AD=AP+PD=AC+EC;‎ ‎(3)四边形AEGF是菱形,‎ 证明:∵∠B=30°,‎ ‎∴∠ADE=30°,‎ ‎∴AE=AD,‎ ‎∴AE=AF=FG,‎ 由(1)得AE∥FG,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∴四边形AEGF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎18.(2018•广西)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.‎ ‎(1)求证:▱ABCD是菱形;‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.‎ ‎【分析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;‎ 18‎ ‎(2)连接BD交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠B=∠D,‎ ‎∵AE⊥BC,AF⊥CD,‎ ‎∴∠AEB=∠AFD=90°,‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴△AEB≌△AFD ‎∴AB=AD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎(2)连接BD交AC于O.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,AC=6,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ AO=OC=AC=×6=3,‎ ‎∵AB=5,AO=3,‎ ‎∴BO===4,‎ ‎∴BD=2BO=8,‎ ‎∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24.‎ ‎ ‎ ‎19.(2018•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.‎ ‎(1)求证:四边形AEBD是菱形;‎ ‎(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.‎ 18‎ ‎【分析】(1)由△AFD≌△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;‎ ‎(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥CE,‎ ‎∴∠DAF=∠EBF,‎ ‎∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,‎ ‎∴△AFD≌△BFE,‎ ‎∴AD=EB,∵AD∥EB,‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形,‎ ‎∵BD=AD,‎ ‎∴四边形AEBD是菱形.‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AB=,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABE=∠DCB,‎ ‎∴tan∠ABE=tan∠DCB=3,‎ ‎∵四边形AEBD是菱形,‎ ‎∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,‎ ‎∴tan∠ABE==3,‎ ‎∵BF=,‎ ‎∴EF=,‎ ‎∴DE=3,‎ ‎∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15.‎ 18‎ ‎ ‎ ‎20.(2018•乌鲁木齐)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.‎ ‎(1)求证:四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.‎ ‎【分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;‎ ‎(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AD∥BC,AE∥DC,‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形,‎ ‎∵∠BAC=90°,E是BC的中点,‎ ‎∴AE=CE=BC,‎ ‎∴四边形AECD是菱形;‎ ‎(2)过A作AH⊥BC于点H,‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,‎ ‎∴AC=,‎ ‎∵,‎ 18‎ ‎∴AH=,‎ ‎∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,‎ ‎∴CD=CE=5,‎ ‎∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF,‎ ‎∴EF=AH=.‎ ‎ ‎ 18‎

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