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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I卷）
理科数学
1.已知集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
由题意可知,,又因为,则，故选.
2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
∵复数在复平面内对应的点为，
∴
∴
∴
3.已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
方法一：
设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，
根据题意可知,故；又，，故；
所以身高，将代入可得.
根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；
即，，将代入可得
所以，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近且身高应略小于，故选B.
5. 函数在的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
∵，
∴为奇函数，排除A，
又，排除C，
，排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，
所以.
7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
设与的夹角为，
∵
∴
∴
∴.
8.右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得，满足条件，
选项B代入运算可得,不符合条件，
选项C代入运算可得,不符合条件，
选项D代入运算可得,不符合条件.
9.记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
依题意有，可得，，.
10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.
11. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间单调递增
③在有4个零点 ④的最大值为
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
答案：
C
解答：
因为，所以是偶函数，①正确，
因为，而，所以②错误，
画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，
结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.
12. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
设，则
∴
∵，
∴,即，解得，
∴
又
易知两两相互垂直，
故三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的体积为，故选D.
13.曲线在点处的切线方程为 .
答案：
解答：
∵，
∴结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，
∴切线方程为.
14.记为等比数列的前项和，若，，则 .
答案：
解答：
∵，
设等比数列公比为
∴
∴
∴
15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是
.
答案：
解答：
甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：
.
16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的
两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为 .
答案：
解答：
由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.
17. 的内角的对边分别为.设.
（1） 求；
（2） 若，求.
答案：
略
解答：
（1） 由得
结合正弦定理得
∴
又，∴.
（2） 由得,
∴
∴,
∴
∴
又∴
又∴
∴，
∴.
18.如图，直四棱柱的底面是菱形，，
分别是的中点.
（1） 证明：平面；
（2） 求二面角的正弦值.
答案：
（1） 见解析；
（2） .
解答：
（1） 连结和，∵分别是和的中点，∴且，
又是，∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
（2） 以为原点建立如图坐标系，由题，，，
，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得，令得，
由得，令得，
∴，∴二面角的正弦值为.
19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.
（1） 若，求的方程；
（2） 若，求.
答案：
（1）；
（2）.
解答：
（1）设直线的方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，
，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.
（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，
.
20.已知函数,为的导函数.证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有个零点.
答案：
略
解答：
(1)对进行求导可得，，
取，则,
在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知当时，单调增，且，可得
则在此区间单调减；
当时，单调增，且，则在此区间单调增；又则在上有唯一零点.
当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，，单调增；当时，单调减，且，所以在上无零点；
当时，单调减，单调减，则在上单调减, ,所以在上存在一个零点.
当时，恒成立，则在上无零点.
综上可得，有且仅有个零点.
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性．
答案：
（1）略；（2）略
解答：
（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、、．
得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；
得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；
得分时是都治愈或都未治愈，则．
则的分布列为：
（2）（i）因为，，
则，，．
可得，则，
则，则，
所以为等比数列．
（ii）的首项为，那么可得：
，
，
………………
，
以上7个式子相加，得到，
则，则，
再把后面三个式子相加，得，
则．
表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为，，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1） 求和的直角坐标方程；
（2） 求上的点到距离的最小值.
答案：
略
解答：
(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到
而直线：将代入即可得到
（2） 将曲线化成参数方程形式为
则
所以当时，最小值为
23. 已知为正数，且满足，证明：
（1）
（2）
答案：
见解析：
解答：
（1） ，.
由基本不等式可得：，
于是得到.
（2） 由基本不等式得到：，
，.
于是得到
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