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2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ．
2．（4分）计算 ．
3．（4分）不等式的解集为 ．
4．（4分）函数的反函数为 ．
5．（4分）设为虚数单位，，则的值为
6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ．
7．（5分）在的展开式中，常数项等于 ．
8．（5分）在中，，，且，则 ．
9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．
11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ．
12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）下列函数中，值域为，的是
A． B． C． D．
14．（5分）已知、，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）如图，在正三棱锥中，．
（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；
（2）求的体积．
18．（14分）已知数列，，前项和为．
（1）若为等差数列，且，求；
（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
卫生总费用（亿元）
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
2012
28119.00
9656.32
34.34
10030.70
35.67
8431.98
29.99
2013
31668.95
10729.34
33.88
11393.79
35.98
9545.81
30.14
2014
35312.40
11295.41
31.99
13437.75
38.05
10579.23
29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．
（1）当时，求；
（2）证明：存在常数，使得；
（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．
21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．
（1）若，求集合；
（2）若，求使得集合恰好有两个元素；
（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学 答 案
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ， ．
【解答】解：集合，2，3，4，，
，5，，
，．
故答案为：，．
2．（4分）计算 2 ．
【解答】解：．
故答案为：2．
3．（4分）不等式的解集为 ．
【解答】解：由得，即
故答案为：，．
4．（4分）函数的反函数为 ．
【解答】解：由解得，
故答案为
5．（4分）设为虚数单位，，则的值为
【解答】解：由，得，即，
．
故答案为：．
6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ．
【解答】解：由题意，可知：
方程有无穷多解，
可对①，得：．
再与②式比较，可得：．
故答案为：．
7．（5分）在的展开式中，常数项等于 15 ．
【解答】解：展开式的通项为令得，
故展开式的常数项为第3项：．
故答案为：15．
8．（5分）在中，，，且，则 ．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，
由，可得：，
，
由余弦定理可得：，
解得：．
故答案为：．
9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24
种（结果用数值表示）
【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，
故答案为：24．
10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．
【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，
，
当且仅当时，取最小值，
故答案为：．
11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ， ．
【解答】解：设，则点，
椭圆的焦点坐标为，，，，
，
，
结合
可得：，
故与的夹角满足：
，
故，
故答案为：，
12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 1或 ．
【解答】解：当时，当，时，则，，
当，时，则，，
即当时，；当时，，即；
当时，，当时，，即，
，解得．
当时，当，时，则，．
当，，则，，
即当时，，当时，，即，
即当时，，当时，，即，
，解得．
当时，同理可得无解．
综上，的值为1或．
故答案为：1或．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）下列函数中，值域为，的是
A． B． C． D．
【解答】解：，的值域为，故错
，的定义域为，，值域也是，，故正确．
，的值域为，故错
，的值域为，，故错．
故选：．
14．（5分）已知、，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：等价，，得“”，
“”是“”的充要条件，
故选：．
15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，
，则直线、、不可能满足以下哪种关系
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；
如图2，可得、、可能两两相交；
如图3，可得、、可能两两异面；
故选：．
16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【解答】解：因为，则，
同理可得，
又因为，
所以，
则，
即，
则，
设，则为直线，
故选：．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）如图，在正三棱锥中，．
（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；
（2）求的体积．
【解答】解：（1），分别为，的中点，，
则为与所成角，
在中，由，，
可得，
与的夹角为；
（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，
连接并延长，交于，则，．
．
．
18．（14分）已知数列，，前项和为．
（1）若为等差数列，且，求；
（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．
【解答】解：（1），，
；
（2），存在，，
存在，且，，
，，或，
公比的取值范围为，，．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份
卫生总费用（亿元）
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重
2012
28119.00
9656.32
34.34
10030.70
35.67
8431.98
29.99
2013
31668.95
10729.34
33.88
11393.79
35.98
9545.81
30.14
2014
35312.40
11295.41
31.99
13437.75
38.05
10579.23
29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）是减函数，且，
在上单调递增，
令，解得，
当时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．
（1）当时，求；
（2）证明：存在常数，使得；
（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．
【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，
，的方程为，代入抛物线的方程，解得，
抛物线的准线方程为，可得，
，；
（2）证明：当时，，
设，，，则，
联立和，可得，，
，
则存在常数，使得；
（3）设，，，则
，
由，
，
则．
21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．
（1）若，求集合；
（2）若，求使得集合恰好有两个元素；
（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．
【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．
当，
集合，0，．
（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，
②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，
综上，或者．
（3）①当时，，集合，，，符合题意．
②当时，，，，或者，
等差数列的公差，，故，，又，2
当时满足条件，此时，1，．
③当时，，，，或者，因为，，故，2．
当时，，1，满足题意．
④当时，，，
所以或者，，，故，2，3．
当时，，满足题意．
⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3
当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．
当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．
当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．
综上，，4，5，6．
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