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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I卷）
文科数学
1. 设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
所以
2. 已知集合，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，，则，又，则，故选C.
3.已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
方法一：
设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，
根据题意可知,故；又，，故；
所以身高，将代入可得.
根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；
即，，将代入可得
所以，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.
5. 函数在的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
∵，
∴为奇函数，排除A.
又，排除C，
，排除B，故选D.
6.某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（ ）.
A.号学生
B.号学生
C.号学生
D.号学生
答案：
C
解答：
从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.
7. （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为
化简可得
8. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，且，，有，设与的夹角为，则有，即，，，，，故与的夹角为，选.
9. 右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得，满足条件，
选项B代入运算可得,不符合条件，
选项C代入运算可得,不符合条件，
选项D代入运算可得,不符合条件.
10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
根据题意可知，所以，
离心率.
11. 的内角的对边分别为，已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由正弦定理可得到：，即，
又由余弦定理可得到：，于是可得到
12. 已知椭圆的焦点坐标为，，过的直线与交于，两点，若
，，则的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得
，故答案选B.
13.曲线在点处的切线方程为 .
答案：
解答：
∵，
∴结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，
∴切线方程为.
14. 记为等比数列的前项和，若，，则 .
答案：
解析：
，
设等比数列公比为
∴
∴
所以
15．函数的最小值为___________．
答案：
解答：
，
因为，知当时取最小值，
则的最小值为．
16.已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为 .
答案：
解答：
如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，
17.某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满 意
不 满 意
男 顾 客
女 顾 客
（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2） 能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
答案：
(1)男顾客的的满意概率为
女顾客的的满意概率为
(2) 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
解答：
（1） 男顾客的的满意概率为
女顾客的的满意概率为.
(2)
有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.记为等差数列的前项和，已知；
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围.
答案：
（1）
（2）
解答：
（1）由结合可得，联立得，所以
（2）由可得，故，.
由知，故等价于，解得，
所以的取值范围是
19. 如图直四棱柱的底面是菱形，，，分别是的中点.
（1）证明：平面
（2）求点到平面的距离.
答案：
见解析
解答：
（1）连结相交于点，再过点作交于点，再连结，.
分别是的中点.
于是可得到，，
于是得到平面平面，
由平面，于是得到平面
（2）为中点，为菱形且
，又为直四棱柱，
，又，
，设点到平面的距离为
由得
解得
所以点到平面的距离为
20. 已知函数，是的导数.
（1） 证明：在区间存在唯一零点；
（2） 若时，，求的取值范围.
答案：
略
解答：
（1） 由题意得
令，∴
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，又，
∴，即，
∴在区间存在唯一零点.
（1） 令，
∴，
由（1）知在上先增后减，存在，使得，且，，，
∴在上先增后减，，，，
当时，在上小于，单调递减，
又，则不合题意，
当时，即，时，
若，，在上单调递增，在上单调递减，
则解得，
而解得，故，
若，，在上单调递增，且，
故只需解得；
若，，在上单调递增，且，
故存在时，，不合题意，
综上所述，的取值范围为.
21. 已知点关于坐标原点对称，，过点且与直线
相切.
（1） 若在直线上，求的半径；
（1） 是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.
答案：
（1） 或；
（2） 见解析.
解答：
（1） ∵过点，∴圆心在的中垂线上即直线上，设圆的方程为
，又，根据得；
∵与直线相切，∴，联解方程得或.
（2） 设的坐标为，根据条件即
化简得，即的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以存在定点，使.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1） 求和的直角坐标方程；
（2） 求上的点到距离的最小值.
答案：
略
解答：
(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到
而直线：将代入即可得到
（2） 将曲线化成参数方程形式为
则
所以当时，最小值为
23.已知，，为正数，且满足，证明：
（1） ；
（2） .
答案：（1）见解析；
（2）见解析.
解析：（1），，，
，即，当且仅当时取等号.且，，都为正数，，，，故.
（2），
当且仅当时等号成立，即时等号成立.又，
当且仅当时等号成立，，故，即得.
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