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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）
文科数学
1.设集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，，∴.
2. 设，则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为，所以.
3. 已知向量， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意知，所以.
4. 生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
计测量过的3只兔子为、、，设测量过的只兔子为、则3只兔子的种类有,则恰好有两只测量过的有种，所以其概率为.
5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
答案：
A
解答：
根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6. 设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
当时，，，又为奇函数，
有.
7. 设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案.
8. 若是函数两个相邻的极值点，则=
A．
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意可知即,所以.
9.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解析：
抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，
∴，∴.
10. 曲线在点处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为.
11. 已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，，
则，所以，
所以.
12.设F为双曲线的右焦点，0为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若,则的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：设点坐标为，则以为直径的圆的方程为-----①，圆的方程-----②，则①-②，化简得到，代入②式，求得，则设点坐标为，点坐标为，故，又,则化简得到，，故.故选A.
二、填空题
13. 若变量满足约束条件则的最大值是 .
答案：
解答：
根据不等式组约束条件可知目标函数在处取得最大值为.
14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
答案：
解答：
平均正点率的估计值.
15. 的内角的对边分别为.已知，则 .
答案：
解析：
根据正弦定理可得,即，显然，所以，故.
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
答案：
26
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.
三、解答题
17.如图，长方体的底面是正方形，点E在棱上，.
（1） 证明：平面
（2） 若,,求四棱锥的体积.
答案：
（1） 看解析
（2） 看解析
解答：
（1） 证明：因为面，面
∴ 又，∴平面；
（1） 设则 ，，
因为 ∴，∴
18.已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前n项和.
答案：
（1）；
（2）
解答：
(1)已知，故，求得或，又，故，则.
(2)把代入，求得，故数列的前项和为.
19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.
的分组
企业数
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：.
答案：
详见解析
解答:
（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是，
这类企业中产值负增长的企业比例是.
（2）这类企业产值增长率的平均数是
这类企业产值增长率的方差是
所以这类企业产值增长率的标准差是.
20. 已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点.
（1）若为等边三角形，求的离心率；
（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.
答案：
详见解析
解答:
（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以.
（2）由题意可得，因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，解得.
因为，即，即，
所以，所以.
21. 已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
答案：
见解析
解答：
（1），设，
则在上递增，，，
所以存在唯一，使得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以存在唯一的极值点.
（2）由（1）知存在唯一，使得，即，
，
，，
所以函数在上，上分别有一个零点.
设，，则，
有，
，
设，当时，恒有，
则时，有.
四、选做题（2选1）
22.在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.
（1） 当时，求及的极坐标方程；
（2） 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
答案：
（1） ，的极坐标方程：；
（2） 点轨迹的极坐标方程为.
解析：
（1） 当时，，
以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；
（2） ∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，∴点轨迹的极坐标方程为.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知
（1） 当时，求不等式的解集：
（2） 若时，，求得取值范围.
答案
（1）看解析
（2）看解析
解答：
（1）当时，
所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。
（2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知不恒成立。所以的取值范围是。
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