2018中考数学分类汇编--相似三角形(附解析)
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资料简介
‎2018中考数学试题分类汇编:考点36 相似三角形 一.选择题(共28小题)‎ ‎1.(2018•重庆)制作一块‎3m×‎2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是(  )‎ A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 ‎【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.‎ ‎【解答】解:‎3m×‎2m=‎6m2‎,‎ ‎∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,‎ 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,‎ 则面积扩大为原来的9倍,‎ ‎∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=‎54m2‎,‎ ‎∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=‎1080m2‎,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是(  )‎ A.: B.2:‎3 ‎C.4:9 D.8:27‎ ‎【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.‎ ‎【解答】解:∵两三角形的相似比是2:3,‎ ‎∴其面积之比是4:9,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为‎5cm,‎6cm和‎9cm,另一个三角形的最短边长为‎2.5cm,则它的最长边为(  )‎ A.‎3cm B.‎4cm C.‎4.5cm D.‎‎5cm ‎【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.‎ ‎【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,‎ 根据题意,得: =,‎ 46‎ 解得:x=4.5,‎ 即另一个三角形的最长边长为‎4.5cm,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•内江)已知△ABC与△A1B‎1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B‎1C1的面积比为(  )‎ A.1:1 B.1:‎3 ‎C.1:6 D.1:9‎ ‎【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.‎ ‎【解答】解:已知△ABC与△A1B‎1C1相似,且相似比为1:3,‎ 则△ABC与△A1B‎1C1的面积比为1:9,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为(  )‎ A.32 B.‎8 ‎C.4 D.16‎ ‎【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积.‎ ‎【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为2,‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积比为4,‎ ‎∵△ABC的面积为16,‎ ‎∴△DEF的面积为:16×=4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比为(  )‎ A.1:4 B.4:‎1 ‎C.1:2 D.2:1‎ ‎【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.‎ ‎【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积比为1:4,‎ 故选:A.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.‎ ‎【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,‎ A、C、D图形中的钝角都不等于135°,‎ 由勾股定理得,BC=,AC=2,‎ 对应的图形B中的边长分别为1和,‎ ‎∵=,‎ ‎∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.‎ ‎【解答】解:∵点D、E分别为边AB、AC的中点,‎ ‎∴DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴=()2=.‎ 故选:C.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•自贡)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为(  )‎ A.8 B.‎12 ‎C.14 D.16‎ ‎【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴DE∥BC,DE=BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=,‎ ‎∵△ADE的面积为4,‎ ‎∴△ABC的面积为:16,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(  )‎ A.3:4 B.9:‎16 ‎C.9:1 D.3:1‎ 46‎ ‎【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴DC∥AB,‎ ‎∴△DFE∽△BFA,‎ ‎∵DE:EC=3:1,‎ ‎∴DE:DC=3:4,‎ ‎∴DE:AB=3:4,‎ ‎∴S△DFE:S△BFA=9:16.‎ ‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•随州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为(  )‎ A.1 B. C. 1 D.‎ ‎【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴()2=.‎ ‎∵S△ADE=S四边形BCED,‎ 46‎ ‎∴=,‎ ‎∴===﹣1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ ‎【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,‎ ‎∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,‎ ‎∴=, =,‎ ‎∴==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为(  )‎ A.5 B.‎4 ‎C.3 D.2‎ ‎【分析】先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.‎ 46‎ ‎【解答】解:如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,‎ ‎∴AC=5‎ 过点D作DF⊥AC于F,‎ ‎∴∠AFD=∠CBA,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAF=∠ACB,‎ ‎∴△ADF∽△CAB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 设DF=x,则AD=x,‎ 在Rt△ABD中,BD==,‎ ‎∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,‎ ‎∴△DEF∽△DBA,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴x=2,‎ ‎∴AD=x=2,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:‎ ‎①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是(  )‎ 46‎ A.①②③ B.① C.①② D.②③‎ ‎【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;‎ ‎(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;‎ ‎(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.‎ ‎【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE ‎∴‎ ‎∵∠BAC=∠EAD ‎∴∠BAE=∠CAD ‎∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ‎∵△BAE∽△CAD ‎∴∠BEA=∠CDA ‎∵∠PME=∠AMD ‎∴△PME∽△AMD ‎∴‎ ‎∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ‎∵∠BEA=∠CDA ‎∠PME=∠AMD ‎∴P、E、D、A四点共圆 ‎∴∠APD=∠EAD=90°‎ ‎∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°‎ ‎∴△CAP∽△CMA ‎∴AC2=CP•CM ‎∵AC=AB 46‎ ‎∴2CB2=CP•CM 所以③正确 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=(  )‎ A.16 B.‎18 ‎C.20 D.24‎ ‎【分析】由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值.‎ ‎【解答】解:∵EF∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△ABC,‎ ‎∵AB=3AE,‎ ‎∴AE:AB=1:3,‎ ‎∴S△AEF:S△ABC=1:9,‎ 设S△AEF=x,‎ ‎∵S四边形BCFE=16,‎ ‎∴=,‎ 解得:x=2,‎ ‎∴S△ABC=18,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎16.(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为(  )‎ 46‎ A.5 B.‎4 ‎C.3 D.2‎ ‎【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断.‎ ‎【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,‎ ‎∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,‎ ‎∴∠ADC=15°,故①正确;‎ ‎∵AE⊥BD,即∠AED=90°,‎ ‎∴∠DAE=45°,‎ ‎∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,‎ ‎∴∠AGF=75°,‎ 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;‎ 记AH与CD的交点为P,‎ 46‎ 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,‎ 则∠BAH=∠ADC=15°,‎ 在△ADF和△BAH中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADF≌△BAH(ASA),‎ ‎∴DF=AH,故③正确;‎ ‎∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,‎ ‎∴△AFG∽△CBG,故④正确;‎ 在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,‎ 设EF=a,‎ ‎∵△ADF≌△BAH,‎ ‎∴BH=AF=2x,‎ ‎△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,‎ ‎∴BE=AE=AF+EF=a+2x,‎ ‎∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,‎ ‎∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,‎ ‎∴△PAF∽△EAH,‎ ‎∴=,即=,‎ 整理,得:2x2=(﹣1)ax,‎ 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确;‎ 故选:B.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=‎3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;‎ ‎【解答】解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB∥CD,∵FN∥AD,‎ ‎∴四边形ANFD是平行四边形,‎ ‎∵∠D=90°,‎ ‎∴四边形ANFD是解析式,‎ ‎∵AE=3DE,设DE=a,则AE=‎3a,AD=AB=CD=FN=‎4a,AN=DF=‎2a,‎ ‎∵AN=BN,MN∥AE,‎ ‎∴BM=ME,‎ ‎∴MN=a,‎ ‎∴FM=a,‎ ‎∵AE∥FM,‎ 46‎ ‎∴===,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎18.(2018•临安区)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴===.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎19.(2018•恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为(  )‎ A.6 B.‎8 ‎C.10 D.12‎ ‎【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△‎ 46‎ EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,‎ ‎∴△ABF∽△GDF,‎ ‎∴==2,‎ ‎∴AF=2GF=4,‎ ‎∴AG=6.‎ ‎∵CG∥AB,AB=2CG,‎ ‎∴CG为△EAB的中位线,‎ ‎∴AE=2AG=12.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎20.(2018•杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE.记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2(  )‎ A.若2AD>AB,则3S1>2S2 B.若2AD>AB,则3S1<2S2‎ C.若2AD<AB,则3S1>2S2 D.若2AD<AB,则3S1<2S2‎ ‎【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.‎ ‎【解答】解:∵如图,在△ABC中,DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ 46‎ ‎∴=()2,‎ ‎∴若2AD>AB,即>时,>,‎ 此时3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能确定3S1与2S2的大小,‎ 故选项A不符合题意,选项B不符合题意.‎ 若2AD<AB,即<时,<,‎ 此时3S1<S2+S△BDE<2S2,‎ 故选项C不符合题意,选项D符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎21.(2018•永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为(  )‎ A.2 B.‎4 ‎C.6 D.8‎ ‎【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD•AB,由此即可解决问题;‎ ‎【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,‎ ‎∴△ADC∽△ACB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AC2=AD•AB=2×8=16,‎ ‎∵AC>0,‎ ‎∴AC=4,‎ 46‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎22.(2018•香坊区)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ ‎【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴,‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴,‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴△CEF∽△CAB,‎ ‎∴,‎ ‎∵DE∥BC,EF∥AB,‎ ‎∴四边形BDEF是平行四边形,‎ ‎∴DE=BF,EF=BD,‎ ‎∴,,,,‎ ‎∴正确,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 46‎ ‎23.(2018•荆门)如图,四边形ABCD为平行四边形,E、F为CD边的两个三等分点,连接AF、BE交于点G,则S△EFG:S△ABG=(  )‎ A.1:3 B.3:‎1 ‎C.1:9 D.9:1‎ ‎【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AB,CD∥AB,‎ ‎∵DE=EF=FC,‎ ‎∴EF:AB=1:3,‎ ‎∴△EFG∽△BAG,‎ ‎∴=()2=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎24.(2018•达州)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=AC.连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【分析】首先证明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==()2=()2=, =,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD=BC,DC=AB,‎ 46‎ ‎∵AC=CA,‎ ‎∴△ADC≌△CBA,‎ ‎∴S△ADC=S△ABC,‎ ‎∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD,‎ ‎∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,‎ ‎∴AG:AB=CH:BC=1:3,‎ ‎∴GH∥AC,‎ ‎∴△BGH∽△BAC,‎ ‎∴==()2=()2=,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=×=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎25.(2018•南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BE⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是(  )‎ A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF•CF 46‎ ‎【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.‎ ‎【解答】解:连接EH.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,‎ ‎∵BE⊥AP,CH⊥BE,‎ ‎∴CH∥PA,‎ ‎∴四边形CPAH是平行四边形,‎ ‎∴CP=AH,‎ ‎∵CP=PD=1,‎ ‎∴AH=PC=1,‎ ‎∴AH=BH,‎ 在Rt△ABE中,∵AH=HB,‎ ‎∴EH=HB,∵HC⊥BE,‎ ‎∴BG=EG,‎ ‎∴CB=CE=2,故选项A错误,‎ ‎∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,‎ ‎∴△ABC≌△CEH,‎ ‎∴∠CBH=∠CEH=90°,‎ ‎∵HF=HF,HE=HA,‎ ‎∴Rt△HFE≌Rt△HFA,‎ ‎∴AF=EF,设EF=AF=x,‎ 在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2,‎ ‎∴x=,‎ 46‎ ‎∴EF=,故B错误,‎ ‎∵PA∥CH,‎ ‎∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,‎ ‎∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C错误.‎ ‎∵HF=,EF=,FC=‎ ‎∴HF2=EF•FC,故D正确,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎26.(2018•临沂)如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高‎1.2m,测得AB=‎1.6m.BC=‎12.4m.则建筑物CD的高是(  )‎ A.‎9.3m B.‎10.5m C.‎12.4m D.‎‎14m ‎【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可.‎ ‎【解答】解:∵EB∥CD,‎ ‎∴△ABE∽△ACD,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CD=10.5(米).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎27.(2018•长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为(  )‎ 46‎ A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 ‎【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.‎ ‎【解答】解:设竹竿的长度为x尺,‎ ‎∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,‎ ‎∴,解得x=45(尺).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎28.(2018•绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=‎4m,AB=‎1.6m,CO=‎1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(  )‎ A.‎0.2m B.‎0.3m C.‎0.4m D.‎‎0.5m ‎【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,据此得=,将已知数据代入即可得.‎ ‎【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,‎ ‎∴∠ABO=∠CDO=90°,‎ 又∵∠AOB=∠COD,‎ ‎∴△ABO∽△CDO,‎ 则=,‎ ‎∵AO=‎4m,AB=‎1.6m,CO=‎1m,‎ ‎∴=,‎ 解得:CD=0.4,‎ 46‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共7小题)‎ ‎29.(2018•邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形: △ADF∽△ECF .‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴AD∥CE,‎ ‎∴△ADF∽△ECF.‎ 故答案为△ADF∽△ECF.‎ ‎ ‎ ‎30.(2018•北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为  .‎ ‎【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出==2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=•AC,即可求出CF的长.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,‎ ‎∴∠FAE=∠FCD,‎ 又∵∠AFE=∠CFD,‎ 46‎ ‎∴△AFE∽△CFD,‎ ‎∴==2.‎ ‎∵AC==5,‎ ‎∴CF=•AC=×5=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎31.(2018•包头)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为  .‎ ‎【分析】由3AE=2EB可设AE=‎2a、BE=‎3a,根据EF∥BC得=()2=,结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S△ADC可得答案.‎ ‎【解答】解:∵3AE=2EB,‎ ‎∴可设AE=‎2a、BE=‎3a,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△ABC,‎ ‎∴=()2=()2=,‎ ‎∵S△AEF=1,‎ ‎∴S△ABC=,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ 46‎ ‎∴S△ADC=S△ABC=,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴===,‎ ‎∴==,‎ ‎∴S△ADF=S△ADC=×=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎32.(2018•资阳)已知:如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为 9 .‎ ‎【分析】设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,由题意知DE∥BC且DE=BC,从而得=()2,据此建立关于x的方程,解之可得.‎ ‎【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,‎ ‎∵点D、E分别是边AB、AC的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,且DE=BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ 则=()2,即=,‎ 解得:x=9,‎ 即四边形BCED的面积为9,‎ 故答案为:9.‎ ‎ ‎ 46‎ ‎33.(2018•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”‎ 用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为  步.‎ ‎【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长.‎ ‎【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,‎ ‎∵AH∥DK,‎ ‎∴∠CDK=∠A,‎ 而∠CKD=∠AHD,‎ ‎∴△CDK∽△DAH,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CK=.‎ 答:KC的长为步.‎ 故答案为.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎34.(2018•岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是  步.‎ ‎【分析】如图1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.‎ ‎【解答】解:如图1,∵四边形CDEF是正方形,‎ ‎∴CD=ED,DE∥CF,‎ 设ED=x,则CD=x,AD=12﹣x,‎ ‎∵DE∥CF,‎ ‎∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,‎ ‎∴△ADE∽△ACB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ x=,‎ 如图2,四边形DGFE是正方形,‎ 过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,‎ 设ED=x,‎ S△ABC=AC•BC=AB•CP,‎ ‎12×5=13CP,‎ CP=,‎ 同理得:△CDG∽△CAB,‎ 46‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ x=,‎ ‎∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎35.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=‎120m,DC=‎60m,EC=‎50m,求得河宽AB= ‎100 ‎m.‎ ‎【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.‎ 46‎ ‎【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,‎ ‎∴△ABD∽△ECD,‎ ‎∴,,‎ 解得:AB=(米).‎ 故答案为:100.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共15小题)‎ ‎36.(2018•张家界)如图,点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与⊙O交于点N(不与M重合)‎ ‎(1)当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值;‎ ‎(2)求证:△PAN∽△PMB.‎ ‎【分析】(1)当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可;‎ ‎(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证.‎ ‎【解答】解:(1)当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,‎ ‎∵OM=AB=×4=2,‎ ‎∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4;‎ ‎(2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,‎ ‎∴△PAN∽△PMB.‎ ‎ ‎ ‎37.(2018•株洲)如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.‎ ‎(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND;‎ 46‎ ‎(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值.‎ ‎【分析】(1)利用HL证明即可;‎ ‎(2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=.‎ ‎【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°‎ ‎∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).‎ ‎(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM ‎∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°‎ ‎∴∠DAM=∠AND ‎∴ND∥AM ‎∴△DNT∽△AMT ‎∴‎ ‎∵AT=,‎ ‎∴‎ ‎∵Rt△ABM ‎∴tan∠ABM=.‎ ‎ ‎ ‎38.(2018•大庆)如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.‎ ‎(1)求证:AC平分∠FAB;‎ ‎(2)求证:BC2=CE•CP;‎ 46‎ ‎(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.‎ ‎【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;‎ ‎(2)只要证明△CBE∽△CPB,可得=解决问题;‎ ‎(3)作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=‎3a,PC=‎4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,‎ ‎∵∠BCP=∠BCE,‎ ‎∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB.‎ ‎(2)证明:∵OC=OB,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC,‎ ‎∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,‎ ‎∴∠OCP=∠CEB=90°,‎ ‎∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,‎ ‎∴∠BCE=∠BCP,‎ ‎∵CD是直径,‎ ‎∴∠CBD=∠CBP=90°,‎ ‎∴△CBE∽△CPB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BC2=CE•CP;‎ ‎(3)解:作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=‎3a,PC=‎4a,PM=a,‎ 46‎ ‎∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,‎ ‎∴∠MCB=∠PBM,‎ ‎∵CD是直径,BM⊥PC,‎ ‎∴∠CMB=∠BMP=90°,‎ ‎∴△BMC∽△PMB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BM2=CM•PM=‎3a2,‎ ‎∴BM=a,‎ ‎∴tan∠BCM==,‎ ‎∴∠BCM=30°,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°‎ ‎∴的长==π.‎ ‎ ‎ ‎39.(2018•江西)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.‎ ‎【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵BD为∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∵AB∥CD,‎ 46‎ ‎∴∠D=∠ABD,‎ ‎∴∠D=∠CBD,‎ ‎∴BC=CD,‎ ‎∵BC=4,‎ ‎∴CD=4,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴△ABE∽△CDE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AE=2CE,‎ ‎∵AC=6=AE+CE,‎ ‎∴AE=4.‎ ‎ ‎ ‎40.(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.‎ ‎(1)求证:EF=AE﹣BE;‎ ‎(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.‎ ‎【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;‎ ‎(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠BAD=90°,‎ ‎∵BE⊥AP,DF⊥AP,‎ 46‎ ‎∴∠BEA=∠AFD=90°,‎ ‎∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ 在△ABE和△DAF中 ‎,‎ ‎∴△ABE≌△DAF,‎ ‎∴BE=AF,‎ ‎∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;‎ ‎(2)如图,∵=,‎ 而AF=BE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴Rt△BEF∽Rt△DFA,‎ ‎∴∠4=∠3,‎ 而∠1=∠3,‎ ‎∴∠4=∠1,‎ ‎∵∠5=∠1,‎ ‎∴∠4=∠5,‎ 即BE平分∠FBP,‎ 而BE⊥EP,‎ ‎∴EF=EP.‎ ‎ ‎ ‎41.(2018•东营)如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.‎ 46‎ ‎(1)求证:∠CAD=∠BDC;‎ ‎(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.‎ ‎【分析】(1)连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;‎ ‎(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,如图所示.‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB.‎ ‎∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,‎ ‎∴∠ODB+∠BDC=90°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠OBD+∠CAD=90°,‎ ‎∴∠CAD=∠BDC.‎ ‎(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,‎ ‎∴△CDB∽△CAD,‎ ‎∴=.‎ ‎∵BD=AD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 又∵AC=3,‎ ‎∴CD=2.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎42.(2018•南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.‎ ‎(1)求证:△AFG∽△DFC;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.‎ ‎【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;‎ ‎(2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,‎ ‎∴∠CDF+∠ADF=90°,‎ ‎∵AF⊥DE,‎ ‎∴∠AFD=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠DAF=∠CDF,‎ ‎∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠FCD+∠DGF=180°,‎ ‎∵∠FGA+∠DGF=180°,‎ ‎∴∠FGA=∠FCD,‎ ‎∴△AFG∽△DFC.‎ ‎(2)解:如图,连接CG.‎ ‎∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,‎ 46‎ ‎∴△EDA∽△ADF,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∵△AFG∽△DFC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 在正方形ABCD中,DA=DC,‎ ‎∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,‎ ‎∴CG==5,‎ ‎∵∠CDG=90°,‎ ‎∴CG是⊙O的直径,‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎ ‎ ‎43.(2018•滨州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证:‎ ‎(1)直线DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)AC2=2AD•AO.‎ ‎【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;‎ ‎(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.‎ 46‎ ‎【解答】解:(1)如图,连接OC,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OAC=∠OCA,‎ ‎∵AC平分∠DAB,‎ ‎∴∠OAC=∠DAC,‎ ‎∴∠DAC=∠OCA,‎ ‎∴OC∥AD,‎ 又∵AD⊥CD,‎ ‎∴OC⊥DC,‎ ‎∴DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接BC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴AB=2AO,∠ACB=90°,‎ ‎∵AD⊥DC,‎ ‎∴∠ADC=∠ACB=90°,‎ 又∵∠DAC=∠CAB,‎ ‎∴△DAC∽△CAB,‎ ‎∴=,即AC2=AB•AD,‎ ‎∵AB=2AO,‎ ‎∴AC2=2AD•AO.‎ ‎ ‎ ‎44.(2018•十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:FG是⊙O的切线;‎ 46‎ ‎(2)若tanC=2,求的值.‎ ‎【分析】(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG;‎ ‎(2)由△GDB∽△GAD,设BG=a.可得===,推出DG=‎2a,AG=‎4a,由此即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:连接AD、OD.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,‎ ‎∵AC=AB,‎ ‎∴CD=BD,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴OD⊥DF,‎ ‎∴FG是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵tanC==2,BD=CD,‎ ‎∴BD:AD=1:2,‎ ‎∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,‎ 46‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∴∠GDB=∠GAD,‎ ‎∵∠G=∠G,‎ ‎∴△GDB∽△GAD,设BG=a.‎ ‎∴===,‎ ‎∴DG=‎2a,AG=‎4a,‎ ‎∴BG:GA=1:4.‎ ‎ ‎ ‎45.(2018•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CAD.‎ ‎(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.‎ ‎【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题;‎ ‎(2)利用面积法: •AD•BD=•AB•DE求解即可;‎ ‎【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD,‎ ‎∴AD⊥BC,∠B=∠C,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠DEB=∠ADC,‎ ‎∴△BDE∽△CAD.‎ ‎(2)∵AB=AC,BD=CD,‎ ‎∴AD⊥BC,‎ 在Rt△ADB中,AD===12,‎ 46‎ ‎∵•AD•BD=•AB•DE,‎ ‎∴DE=.‎ ‎ ‎ ‎46.(2018•烟台)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.‎ ‎(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;‎ ‎(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.‎ ‎【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论;‎ ‎(2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°;‎ ‎(3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化简可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,‎ ‎∴∠EDB=∠EBD=α,‎ ‎∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,‎ ‎⊙D中,∵DC=DE=AD,‎ ‎∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,‎ 46‎ ‎△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,‎ ‎∴∠CAD==;‎ ‎(2)设∠MBE=x,‎ ‎∵EM=MB,‎ ‎∴∠EMB=∠MBE=x,‎ 当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,‎ ‎∴∠CED+∠MEB=90°,‎ ‎∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,‎ ‎△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,‎ ‎∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,‎ ‎∴∠CAD=45°;‎ ‎(3)由(2)得:∠CAD=45°;‎ 由(1)得:∠CAD=;‎ ‎∴∠MBE=30°,‎ ‎∴∠CED=2∠MBE=60°,‎ ‎∵CD=DE,‎ ‎∴△CDE是等边三角形,‎ ‎∴CD=CE=DE=EF=AD=,‎ Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,‎ ‎∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,‎ ‎△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,‎ ‎△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,‎ ‎∴∠CNE=75°,‎ ‎∴∠CNE=∠NCB=75°,‎ ‎∴EN=CE=,‎ ‎∴===2+.‎ 46‎ ‎ ‎ ‎47.(2018•陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.‎ 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=‎1m,DE=‎1.5m,BD=‎8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.‎ ‎【分析】由BC∥DE,可得=,构建方程即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵BC∥DE,‎ ‎∴△ABC∽△ADE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB=17(m),‎ 经检验:AB=17是分式方程的解,‎ 答:河宽AB的长为‎17米.‎ ‎ ‎ ‎48.(2018•济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.‎ ‎(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.‎ 46‎ ‎【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可;‎ ‎(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;‎ ‎【解答】解:(1)结论:CF=2DG.‎ 理由:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,‎ ‎∵DE=AE,‎ ‎∴AD=CD=2DE,‎ ‎∵EG⊥DF,‎ ‎∴∠DHG=90°,‎ ‎∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,‎ ‎∴∠CDF=∠DEG,‎ ‎∴△DEG∽△CDF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴CF=2DG.‎ ‎(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.‎ 由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,‎ ‎∴EH=2DH=2,‎ ‎∴HM==2,‎ ‎∴DM=CN=NK==1,‎ 在Rt△DCK中,DK===2,‎ 46‎ ‎∴△PCD的周长的最小值为10+2.‎ ‎ ‎ ‎49.(2018•聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.‎ ‎(1)求证:AE=BF.‎ ‎(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.‎ ‎【分析】(1)根据ASA证明△ABE≌△BCF,可得结论;‎ ‎(2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°,‎ ‎∵BH⊥AE,‎ ‎∴∠BHE=90°,‎ ‎∴∠AEB+∠EBH=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠EBH,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(ASA),‎ ‎∴AE=BF;‎ 46‎ ‎(2)解:∵AB=BC=5,‎ 由(1)得:△ABE≌△BCF,‎ ‎∴CF=BE=2,‎ ‎∴DF=5﹣2=3,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=AD=5,∠ADF=90°,‎ 由勾股定理得:AF====.‎ ‎ ‎ ‎50.(2018•乌鲁木齐)如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.‎ ‎(1)求证:直线BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度.‎ ‎【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论;‎ ‎(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=‎2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得:,代入可得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,‎ ‎∵AG是∠HAF的平分线,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∴∠CAD=∠ODA,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵∠ACD=90°,‎ ‎∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,‎ 46‎ ‎∵D在⊙O上,‎ ‎∴直线BC是⊙O的切线;(4分)‎ ‎(2)解:在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=‎2a,AD=a,‎ 连接DE,‎ ‎∵AE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADE=90°,‎ 由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,‎ ‎∴△ACD∽△ADE,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴a=,‎ 由(1)知:OD∥AC,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵a=,解得BD=r.(10分)‎ ‎ ‎ 46‎

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