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2018-2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试
高二数学（文科）
命题学校：东港市第二中学 命题人：林丹 校对人：阮征 负责人：梁景玉
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则在复平面对应的点位于第 ( )象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知向量，且，则（ ）
A． B．8 C． D．6
5．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，并且成等差数列，则的最小值为( )
A．16 B．12 C．9 D．8
7．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
11．已知双曲线 （，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )
A． B． C．2 D．
12．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.
二 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．
14．设满足约束条件，则的最大值为 ___________．
15．设为锐角，若，则的值为___________．
16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，
，，则球的表面积为__________．
三 解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
已知：数列的前项和为，且。
（1）求证：数列等比数列；
（2）等差数列满足，设，求数列的前项和。
18．（本小题满分12分）
某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率.
附： ， ，
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19．（本小题满分12分）
已知多面体中，，，，，为的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知是焦距为的椭圆：的右顶点，点，直线交椭圆于点，为线段的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的斜率．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）
选修4-4:坐标系与参数方程
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线
（t为参数)，曲线
(I)求曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.
23．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式：；
（2）当时，，求实数的取值
2018-2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试答案
选择题：1C 2D 3B 4B 5B 6D7A 8D 9A 10 A 11 C 12B
填空题：13 14 2 15 16
解答题：
17（1）证明：由题意，因为，
当时,，
当时，，
可得，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列…………………….6分
（2）由（1）得数列的通项公式和前n项和公式，可得,
设的公差为，且，解得，
所以 …………………….9分
所以，
所以。……………12分
18（1）
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
20
60
80
年龄大于50岁
10
10
20
合计
30
70
100
……………………3分
（2） ，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关； …………6分
（3）记5人为 ，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：
共10个，其中至多1位教师有7个基本事件: ，所以所求概率是. …………………12分
19(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).
(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，
∵O为CD的中点， ∴OF∥DE，且OF=DE，
∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1， ∴OF∥AB，OF=AB，
则四边形ABFO为平行四边形，
∴AO//BF，BF⊆平面BCE，AO⊊平面BCE， ∴AO//平面BCE；…………………6分
(Ⅱ)由题意可得BF//AO，
∵ ，∴DE⊥AO，∵AO⊥CD，∴AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE BF⊥DF.∵CD=DE，∴DF⊥CE，∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE；
∴∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角. …………………9分
在△BDF中，，
. …………………12分
20（1）由题意得焦距，∴．
又点在椭圆上，
∴，解得，
∴．
∴椭圆的方程为．…………………4分
（2）根据题意得直线的方程为，即．
由消去整理得．
∵直线与椭圆交于、两点，
∴，解得．
设，，
则，．…………………6分
∵，且 ∴，即．
∴，
∴． ∴，解得，满足，
∴． 即直线的斜率．…………………12分
21（1）；（2）见解析
（1）依题意，，故，
又，故所求切线方程为. …………………4分
（2）依题意.
令，则，且当时，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，，
当时，恒成立，.
函数在区间单调递增，无极值点；
当时，，
故存在和，使得，
当时，，
当时，，
当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.
综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点. …………………12分
22．(Ⅰ) (Ⅱ)
解：（Ⅰ）由，，代入曲线
得，即…………………5分
（Ⅱ）将代入得，，
设直线上的点对应的参数分别为，
则，
所以中点M的轨迹方程为（为参数），
消去参数，得M点的轨迹的普通方程为…………………10分
23．（1）（2）
（1）当时，原不等式化简为，即；
当时，原不等式化简为，恒成立，即；
当时，原不等式化简为，即．
综上，原不等式的解集为．
（2），…………………5分
画出的图像
当时，等价于的图像在直线的上方．
直线恒过定点，点，由图像可知：．
…………………10分
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