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2018—2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试
数学（理）试题
命题学校：东港二中 命题人：马玉林 校对人：范琳琳 负责人：梁景玉
一．选择题（每题5分）
1．若集合U=R，集合，，则=（ ）
A．{} B．{} C．{} D．{}
2．若复数z满足（i为虚数单位），则为（ ）
A． B． C． D．
3．函数（为自然对数的底数）的图象可能是
A． B. C． D．
4．在菱形ABCD中，若，则等于( )
A．2 B．－2 C． D．与菱形的边长有关
5．已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
7．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．在区间中任取一个实数，使函数，在上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在正方体中，若点为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角的对边分别是，，，且，则的面积为（ ）．
A． B． C．6 D．12
11．已知函数恰有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线左焦点的直线与交于，两点，且，若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二．填空题（每题5分）
13．设曲线在点处的
切线方程为，则_______．
14．若满足约束条件，
则的最小值为__________.
15．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为______．
16．已知点在半径为2的球的球面上，且，，两两所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为____．
三．解答题
17．（12分）已知等差数列的前项和为，，.数列为等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；
（2）记，其前项和为，证明：.
18．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数
空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；
（3）从这10天的数据中任取三天数据，记表示抽取空气质量良的天数，求的分布列和期望.
19．（12分）如图，三棱锥中，平面
，，，，为的中点，过点作平行于,且.连接,,.
(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
(3)求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右顶点，点满足.
(1)求椭圆C方程；
(2)设直线经过点且与C交于不同的两点、，试问：在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数在点处的切线方程．（1）求，的值及函数的极值；
（2）若且对任意的恒成立，求的最大值．
22．（二选一，从22题和23题选一道作答）（10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设，.直线与曲线交于点，.求的值.
23．（10分）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，求实数的取值范围.
理数参考答案
1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．C 10．C 11．A 12．D
13．-1 14．0. 15．2+1 16．
17．（1），；（2）见解析
（1）解：设的公差为
则由，得，解得
所以
设的公比
因为，且
所以，
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）证明：
因为，所以。。。。。。。。。。。。。。。。12分
18．（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）；（3）见解析
（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天.
所以这10天中空气质量达到优良的概率为，
因为，
所以11月中平均有9天的空气质量达到优良．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）记“从10
天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件，
则，
即恰好有一天空气质量良的概率．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（3）由题意得的所有可能取值为0，1，2，
；
；
．
所以的分布列为：
0
1
2
所以． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
19．（1）详见解析；（2）.（3）
(Ⅰ)连接AD,PD,由PA⊥平面ABC得PA⊥AD,
因为PA//DQ且PA=DQ，即四边形ADQP为矩形，
又AB=AC＝，AB⊥AC，则AD＝1=AP,
所以四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD
且BC⊥AD, BC⊥DQ,则BC⊥平面ADQ,
即BC⊥AQ
故AQ⊥平面PBC. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(Ⅱ)（向量法）建立如图所示直角坐标系，则
，则
设平面ABQ的的法向量为于是
（几何法）由于， 且,
则于是C点到平面ABQ的距离
所以 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（3）（3）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
20．（1） ； （2）Q（2，0），1 .
（1）依题意，，P（2，-1），所以=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,
由=1，a>0,得a=2,因为e=，所以c=，b2=a2-c2=1，结果为，进而得到最终结果.
故椭圆C的方程为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，
因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），
由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，
△=-64k>0,所以k
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